Σ. Μαρίνης: “Η Μαθηματική Λογική και η διδασκαλία της”

 In Άρθρα

Η Μαθηματική Λογική και η διδασκαλία της

Στέλιος Μαρίνης

Καθηγητής Μαθηματικών Β/θμιας εκπαίδευσης

 

Περίληψη

Η μαθηματική λογική είναι πολύ σημαντικό εργαλείο των μαθηματικών. Συνεισέφερε, μεταξύ άλλων, στο να ξεπεραστεί η κρίση που δημιουργήθηκε όταν διαπιστώθηκαν αντινομίες στις αξιωματικά θεμελιωμένες θεωρίες. Όπως θα προσπαθήσουμε να τεκμηριώσουμε στο άρθρο αυτό, παρά την τεράστια συμβολή της Μαθηματικής Λογικής στην ανάπτυξη των σύγχρονων Μαθηματικών, δεν παύει να είναι απλώς ένα εργαλείο ελέγχου της ορθότητας ενός συλλογισμού και της συνέπειας μιας θεωρίας. Η μαθηματική λογική δε βοηθάει την προώθηση της μαθηματικής σκέψης. Η τελευταία δημιουργεί μέσα από τη διαίσθηση με λάθη και αντιφάσεις. Όσο αφορά το πρόβλημα της μαθηματικής εκπαίδευσης, η συστηματική διδασκαλία της Μαθηματικής Λογικής στις προπανεπιστημιακές βαθμίδες, όχι μόνο δε βοηθάει τους μαθητές, αλλά αποτελεί ένα ακόμη μέσο για να γίνουν γι’ αυτούς τα μαθηματικά απωθητικά και ξένα, ενώ ταυτόχρονα εμποδίζει την ανάπτυξη της φαντασίας, της διαίσθησης και της επινόησης. Εκείνο που χρειάζονται οι μαθητές είναι η εξοικείωση με τις μαθηματικές έννοιες και μεθόδους και η δυνατότητα εφαρμογής τους. Κατά τα άλλα αρκεί η κλασική Αριστοτέλεια λογική ενισχυμένη με τα πιο βασικά κωδικοποιημένα σύμβολα λογικών πράξεων.

Στην αρχή παρατίθεται συνοπτικό ιστορικό για τη διδασκαλία των Νέων Μαθηματικών (New Mathematics, Mathematic Modern), στην προπανεπιστημιακή εκπαίδευση. Στην ενότητα: «Τα όρια της προσφοράς της μαθηματικής λογικής» αναπτύσσεται η άποψη ότι ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών κυρίως χρησιμεύει στον έλεγχο ορθότητας μιας πρότασης ή ενός συστήματος, αλλά δε συμβάλλει καθαυτή στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Στην ενότητα «Απλά παιδαγωγικά επιχειρήματα» επισημαίνεται ότι η διδασκαλία της Μαθηματικής Λογικής δε συνάδει με τις αρχές της παιδαγωγικής επιστήμης. Τέλος στην ενότητα «Η τυπική λογική είναι αρκετή» τεκμηριώνεται η άποψη ότι η τυπική Αριστοτέλεια λογική, εμπλουτισμένη με μερικά μόνο σύμβολα της τυπικής λογικής είναι απολύτως επαρκής στο μαθητή της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

 

Summary

Mathematical logic is a very important tool in Mathematics.

It has helped to deal with the crisis appeared when contradictions were found in axiomatically founded theories.

As we will try to substantiate in this article, although mathematical logic has contributed enormously to the development of contemporary mathematics, it is nothing more than a tool used to check the rightness and consistency of a theory.

Mathematical logic does not help to the development of mathematical thought, a thought creating through intuition, with mistakes and contradictions.

As it concerns the problem of mathematical education, a systematic teaching of mathematical thought at pre-university levels, not only doesn’t help students, but constitutes one more means to make mathematics repulsive and alien to them, while preventing the development of imagination, intuition and invention.

What students need is to familiarize with mathematical notions and be able to apply them.

As to the other subjects, classical Aristotelian logic, reinforced with the most basic coded symbols of logical operations, is enough.

At the beginning, we present a brief history of teaching New Mathematics in pre-university level.

Under the subtitle “The boundaries of what mathematical logic has to offer”, we hold the view that the main use of this branch of Mathematics is to check whether a proposition or a system is right, but it doesn’t contribute directly to the development of Mathematics.

Under the subtitle “Simple pedagogic arguments”, we point out that the teaching of mathematical logic is not consistent with the principles of pedagogics.

Finally, under the subtitle “Typical logic is enough”, we present the view that typical Aristotelian logic, enriched only with some symbols of typical logic, is more than enough for students of secondary education.

 

 

 

 

 

 

 

 «Η λογική είναι η αργή και βασανιστική μέθοδος με την οποία ανακαλύπτουν

την αλήθεια αυτοί που δεν την καταλαβαίνουν» ( Pascal)

«Καμιά ανακάλυψη δεν έγινε στα μαθηματικά με προσπάθειες της

μαθηματικής λογικής» (Lebesque)

Εισαγωγή

 

Κάποτε όλα τα ζώα, τα πουλιά, τα έντομα και τα ερπετά του δάσους έκαναν ένα μεγάλο γλέντι συμφιλίωσης. Όταν τ’ αηδόνια κι οι κορυδαλλοί άρχισαν το τραγούδι, σηκώθηκαν πολλά ζώα να χορέψουν. Όμως πολύ σύντομα ένα – ένα ζώο καθόταν κάτω αφήνοντας μόνη της στο κέντρο της πίστας τη σαρανταποδαρούσα η οποία χόρευε με έναν τρόπο εκπληκτικό. Τα σαράντα πόδια της έδιναν στο χορό της απίστευτη ποικιλία κινήσεων και στο μακρύ κορμί της κινήσεις γεμάτες χάρη. Όταν τελείωσε ο χορός, όλοι τη χειροκρότησαν με ενθουσιασμό. Όμως ο λαγός καθόταν σκεφτικός, μέχρι που αποφάσισε να πάει να τη ρωτήσει: «Μα πες μου, πώς το έκανες; Σκεφτόσουν, ας πούμε, να, τώρα θα σηκώσω τα πόδια 1-3-5 ενώ θα λυγίσω τα 5 έως 11 και τα άλλα θα χτυπούν τη γη; Είμαι πολύ περίεργος πώς ακριβώς το έκανες». Η σαρανταποδαρούσα δεν το είχε ποτέ μέχρι τότε σκεφτεί. Χόρευε αυθόρμητα και φυσικά. Όμως η ερώτηση του λαγού της έγινε έμμονη ιδέα. Άρχισε λοιπόν να σκέφτεται κι η ίδια πώς χόρευε, και δεν ξαναχόρεψε πια…

 

Η ιστοριούλα αυτή δείχνει ποιες απόψεις θα υποστηρίξουμε για τη διδασκαλία της Μαθηματικής λογικής, των «μοντέρνων» μαθηματικών και του φορμαλισμού στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση: Ας μάθουμε τους μαθητές να σκέπτονται απλά και λογικά, να αναπτύσσουν τη φαντασία τους, να «ζουν» τις μαθηματικές έννοιες και πράξεις κι ας αφήσουμε τη μαθηματική λογική για τους μαθηματικούς. Η διδασκαλία της Μαθηματικής Λογικής, και κατ’ επέκταση η έντονα συμβολική παρουσίαση της ύλης στο Λύκειο δεν ωφελεί τους μαθητές, αν και κάποια στοιχεία της επιστήμης αυτής, σε εκλαϊκευμένη, πρακτική τρόπον τινά, μορφή, είναι απαραίτητο να διδάσκονται.

Το ζήτημα της διδασκαλίας της Μαθηματικής Λογικής και της τυποποίησης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, όπως δείχνει και η διεθνής εμπειρία, φαίνεται να έχει λήξει. Όμως, αφενός μια μερίδα συναδέλφων το επαναφέρουν στην επικαιρότητα, όπως φάνηκε από τη δημοσίευση σειράς άρθρων (17), αφετέρου το άλλο άκρο στο οποίο φτάσαμε να «εξορκίζονται» κάποια χρήσιμα σύμβολα, όπως της συνεπαγωγής, καθιστούν το περιεχόμενο του άρθρου επίκαιρο.

 

 

Μικρό ιστορικό

 

Σε όλο το δυτικό κόσμο, από τη δεκαετία του 50 άρχισε έντονος προβληματισμός για το επίπεδο των μαθηματικών που μάθαιναν οι μαθητές. Το πρόβλημα είχε εμφανιστεί ήδη κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκόσμιου Πολέμου, οπότε έγινε φανερό πόσο σημαντική ήταν η θέση των Μαθηματικών στις προηγμένες κοινωνίες. Η πρωτοπορία της Σοβιετικής Ένωσης στην κατάκτηση του διαστήματος, μετά τις εκτοξεύσεις των δύο δορυφόρων «Σπούτνικ» το 1957, υποχρέωσε τις δυτικές χώρες να αντιμετωπίσουν ως πολύ σημαντικό πρόβλημα τη μαθηματική εκπαίδευση. Η απάντηση στο πρόβλημα προκρίθηκε να είναι η διδασκαλία των “Νέων Μαθηματικών” και η πρώιμη εισαγωγή στοιχείων του φορμαλισμού ακόμη και στη στοιχειώδη εκπαίδευση. Η επιλογή αυτή ωστόσο ελάχιστα στηρίχτηκε σε παιδαγωγικές έρευνες. Κυρίως το σκεπτικό που επικράτησε ήταν ότι η μαθηματική εκπαίδευση πρέπει να συμβαδίζει με την ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης. Δε θα μπορούσε εξάλλου να συμβεί διαφορετικά αφού η συντριπτική πλειονότητα των συμμετεχόντων και στην αμερικάνικη επιτροπή μαθηματικών και στη σύσκεψη του ΟΟΣΑ στη Γαλλία (Royaumont Seminar, 1959) ήταν πανεπιστημιακοί μαθηματικοί.  Από την πλευρά της παιδαγωγικής, μόνο ατυχείς ερμηνείες των απόψεων του Piazet[1] φαίνεται να συνηγορούσαν στην πρώιμη εισαγωγή αφηρημένων εννοιών.  Ιδιαίτερα κατά τις δεκαετίες 60, 70 και ίσως 80[2], ανάλογα με τη χώρα υλοποιήθηκε αυτή η σημαντική στροφή στη διδασκαλία των Μαθηματικών στην Εκπαίδευση. Ας σημειωθεί ότι η μεταρρύθμιση είχε επικυρωθεί από σύσκεψη επιτροπής του ΟΟΣΑ το 1959 στην πόλη Ουγεμόν της Γαλλίας.

Χαρακτηριστική ήταν η αποστροφή του Ζακ Ντιεντόν (J. DIEUDONNÉ) «Κάτω ο Ευκλείδης» που έγινε παγκόσμια γνωστή στην αγγλόφωνη εκδοχή «Euclid must go!»  Στις προηγμένες χώρες της Δύσης η αποτυχία της καινοτομίας διαπιστώθηκε εγκαίρως και άρχισε η αποκαθήλωσή της. Το βιβλίο «Γιατί δεν ξέρει πρόσθεση ο Γιάννης» του Morris Kline ήταν τρόπον τινά η επικύρωση της στροφής κατά της μεταρρύθμισης αυτής.

Στην Ελλάδα πρωτοδιδάχθηκαν στη Μέση Εκπαίδευση σύνολα στην αρχή της δεκαετίας του 60, ενώ από τη σχολική χρονιά 1965-66 προστέθηκαν ως ξεχωριστός κλάδος των Μαθηματικών στην Α΄ Λυκείου όπου είχαμε και την πρώτη εφαρμογή του πολλαπλού σχολικού βιβλίου στην εκπαίδευση. Με τις σαρωτικές αλλαγές της επταετίας, αλλαγές που δε στηρίχθηκαν, όσο αφορά τα μαθηματικά τουλάχιστον, σε κανένα άλλο σκεπτικό, παρά μόνο στην ακύρωση όλων των μεταρρυθμίσεων «Παπανούτσου», καταργήθηκε η διδασκαλία των συνόλων ως ανεξάρτητου μαθήματος, ωστόσο άρχισαν γενικά τα σχολικά εγχειρίδια να έχουν μεγαλύτερη τάση αυστηρότητας. Η ύλη της Α΄ Γυμνασίου ξεκινάει με τα σύνολα, οι αριθμοί ορίζονται ως πληθάριθμοι των αρχικών αποκομμάτων του συνόλου των Φυσικών αριθμών, ενώ στην Άλγεβρα της Β’  Λυκείου περιλήφθηκε το κεφάλαιο της Μαθηματικής Λογικής και εκτεταμένη παρουσίαση των ακολουθιών, η δε ανάλυση παρουσιάστηκε με βάση τις ακολουθίες (όπου το όριο συνάρτησης στο σ δινόταν ως το όριο όλων των ακολουθιών από τιμές της συνάρτησης σε ακολουθίες που έτειναν στο σ). Με τη θεσμοθέτηση των Πανελλήνιων Εξετάσεων Β΄ και Γ΄ Λυκείου, αντί των εισαγωγικών σε κύκλους σχολών, οι αλλαγές της ύλης ήταν, ως προς το θέμα της τυπολατρίας και της μαθηματικής αυστηρότητας, αντιφατικές. Ενώ στη Β΄ Λυκείου στο επιλεγόμενο μάθημα των Μαθηματικών διδάσκονταν αλγεβρικές δομές, η ύλη της ανάλυσης «ελάφρυνε» αρκετά, όχι λόγω των βιβλίων που κατά τα λοιπά δεν άλλαξαν στην επιλεγόμενη ύλη παρά μόνο την ύλη κορμού, αλλά λόγω των υπερβολικά απλών θεμάτων των Πανελλήνιων Εξετάσεων. Από το 1983 είχαμε την πιο ολοκληρωμένη απόπειρα μαθηματικής αυστηρότητας σε συνδυασμό με πολύ δύσκολα θέματα στις Γενικές Εξετάσεις. Ωστόσο, σταδιακά άρχισαν να αφαιρούνται από τη διδακτέα ύλη οι αλγεβρικές δομές, το ολοκλήρωμα, οι πίνακες, αφενός εξαιτίας των διαμαρτυριών των καθηγητών για το μέγεθος της ύλης, αφετέρου γιατί έφταναν στην Ελλάδα τα μηνύματα της αποτυχίας αυτής της τάσης σε όλο τον κόσμο. Έτσι, με τη μεταρρύθμιση Αρσένη, φτάσαμε στο άλλο άκρο της σημερινής κατάστασης όπου το συνεπάγεται είναι σχεδόν υπό απαγόρευση, ενώ πολλές αποδείξεις των σχολικών εγχειριδίων γίνονται με αφετηρία την αποδεικτέα σχέση και κατάληξη σε ισοδύναμη αληθή σχέση, χωρίς ωστόσο να διευκρινίζεται στους μαθητές πότε μπορούν οι ίδιοι να ακολουθούν αυτή τη μέθοδο.

 

Από την ελληνική εκπαίδευση απουσιάζει παντελώς η επιστημονική αποτίμηση κάθε εκπαιδευτικού συστήματος, κάθε νέου αναλυτικού προγράμματος και κάθε σχολικού εγχειριδίου. Έτσι, η αποτίμηση και όλων αυτών των αλλαγών στα αναλυτικό προγράμματα, τα εγχειρίδια, τις οδηγίες της διδασκαλίας των μαθηματικών, τις μεταβολές της εξεταστέας ύλης κ.τ.λ. σε σχέση και με το σύστημα των εξετάσεων που, δυστυχώς, επηρεάζει καθοριστικά το τι και πώς θα διδαχθεί, δε  στηρίζεται σε ερευνητικά στοιχεία. Η προηγούμενη παρατήρηση πάντως δεν αφορά γενικά την τυπολατρία στα σχολικά μαθηματικά για την οποία υπάρχουν διεθνείς μελέτες που έχουν αποδείξει την πλήρη αποτυχία της. Η αποτίμηση των σταδίων εφαρμογής του στη χώρα μας οφείλει να λαμβάνει υπόψη το σύστημα εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Όταν διαπιστώνεται ότι οι εισιτήριες εξετάσεις περιέχουν θέματα που απαιτούν εμβάθυνση στη θεωρία και αυστηρότητα στις λύσεις των ασκήσεων, το πλέγμα σχολείου – φροντιστηρίου – βοηθημάτων προσανατολίζεται στην αντίστοιχη κατεύθυνση. Έτσι, είναι γεγονός ότι στη περίοδο των Γενικών Εξετάσεων, χάρη και στο ότι δινόταν στους απόφοιτους η δυνατότητα να κρατούν μαθήματα, οι επιδόσεις των υποψηφίων που κατόρθωναν να εισαχθούν σε σχολές κύρους ήταν εντυπωσιακές. Μαθηματικοί που είχαν απομακρυνθεί χρόνια από τη διδασκαλία στο Λύκειο δε θα κατάφερναν να γράψουν εξίσου καλά με τους «πρωτοδεσμίτες» που βελτίωναν το 14. Αν δει κανείς πώς κλιμακωνόταν η δυσκολία των ασκήσεων στα φροντιστηριακά βοηθήματα θα εντυπωσιαστεί. Στην τελευταία πια περίοδο του συστήματος αυτού, εκδίδονταν βιβλία με θέματα που σε υψηλό ποσοστό ήταν επιπέδου Ολυμπιάδας Μαθηματικών. Ωστόσο οι μαθητές αυτοί, μιλάμε για τους αρίστους στην πραγματικότητα, δεν ήξεραν πλέον Γεωμετρία, μπορούσαν να λύσουν δύσκολες ασκήσεις για το ρυθμό μεταβολής με τον οποίο γεμίζει ένας κώνος με υγρό, αλλά μόνο αν τους δινόταν ο τύπος του όγκου του κώνου, είχαν χάσει την πρωτοτυπία της σκέψης και γενικά δεν είχαν πληρότητα πνεύματος. Δε θα μπορούσαν για παράδειγμα να ανταποκριθούν εξίσου σε δύσκολα προβλήματα Ευκλείδειας Γεωμετρίας που απαιτούν πρωτότυπο τρόπο σκέψης. Από την άλλη αυξήθηκε δραματικά ο αριθμός των  μαθηματικά «αναλφάβητων», ενώ ο «μεσαίος χώρος», το μεγάλο πλήθος όσων εισέρχονταν στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, κατάφερναν να γράψουν ένα βαθμό για να εισαχθούν, αλλά σε μεγάλο βαθμό δεν καταλάβαιναν τι ακριβώς έκαναν για να λύσουν μια άσκηση, αρκούμενοι στη μηχανική εκμάθηση έτοιμων μεθοδολογιών.

 

Αυτές οι παρατηρήσεις που αφορούν το τι έγινε εκείνη την περίοδο στην Ελλάδα αντιστοιχούν απόλυτα στο αποτέλεσμα της φορμαλιστικής διδασκαλίας των μαθηματικών παντού.

 

 

Τα όρια της προσφοράς της μαθηματικής λογικής

 

Θα πρέπει να διευκρινίσουμε ότι η ρήση του Russel για ταύτιση των μαθηματικών με τη λογική δεν αφορά τη διδασκαλία των Μαθηματικών σε μη μαθηματικούς, όπως οι θεωρίες για την ενοποίηση συγκινούν τους φυσικούς και η δομική γλωσσολογία τους φιλολόγους, αλλά κανείς δε διανοείται να τις διδάξει στη μέση εκπαίδευση.

 

Η  λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Μας επιτρέπει να συλλογιζόμαστε για την ορθότητα των προγραμμάτων, να αναπαριστούμε προβλήματα αλλά και να τα επιλύουμε. Η ανάγκη για μια τέτοια φορμαλιστική αναπαράσταση της ανθρώπινης σκέψης προήλθε από το γεγονός ότι η φυσική γλώσσα, αν και ιδανική, είναι επίσης και βερμπαλιστική, ασαφής, πολυσήμαντη, περιέχει συμφραζόμενα κ.τ.λ. Η μαθηματική ή συμβολική λογική, τουλάχιστον το τμήμα της εκείνο που μπορεί να διδαχτεί στη μέση εκπαίδευση, δεν είναι στην πραγματικότητα τίποτε περισσότερο από μια κωδικοποίηση της τυπικής (Αριστοτέλειας όπως συνήθως την αποκαλούμε) λογικής.

 

Ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών γεννήθηκε από την ανάγκη να αποκατασταθεί το κύρος των Μαθηματικών μετά τις αντινομίες οι οποίες εντοπίστηκαν στη θεωρία των συνόλων. Οι μαθηματικοί ένιωθαν την ψυχολογική ανάγκη σιγουριάς ότι τα θεμέλια στα οποία στηρίζονται είναι στέρεα. Χρειαζόταν ένα εργαλείο ισχυρότερο της κοινής γλώσσας για να ελέγχεται αποτελεσματικότερα η ορθότητα των αποδείξεων και η συνέπεια ανάμεσα στους διάφορους ορισμούς. Η λύση ήταν η τυποποίηση, η μαθηματική λογική και ο φορμαλισμός[3]. Την αναστάτωση της μαθηματικής κοινότητας λόγω της αποκάλυψης της αντινομίας του Russel η οποία «γκρέμιζε» την εδραιωμένη πεποίθηση για το αλάνθαστο των Μαθηματικών, διαδέχτηκε η ευφορία για την αποκατάσταση του κύρους και της «παντοδυναμίας» της επιστήμης αυτής. Όμως παράλληλα άρχισαν να αναφύονται άλλου επιπέδου προβλήματα. Ο Hilbert, κορυφαία μορφή του μαθηματικού φορμαλισμού, προκειμένου να φτιάξει μια αλάνθαστη Γεωμετρία, αναγκάστηκε να αποστερήσει από αυτήν κάθε σχέση με την πραγματικότητα. Η αναφορά αυτή δεν υποτιμά το καταπληκτικό έργο του μεγάλου αυτού μαθηματικού, αλλά αναδεικνύει ακριβώς τη διάσταση ανάμεσα στο «αληθές» και το «πραγματικό». Η «αλήθεια» είναι μια σύμβαση που δεν αντιστοιχεί υποχρεωτικά στην πραγματικότητα, ενώ η «πραγματικότητα» δε χωράει στο καλούπι του σωστού ή λάθους[4].

Ανάμεσα στους οριζόμενους (ή «πρωταρχικούς») όρους που χρησιμοποίησε ο σημαντικός Γερμανός μαθηματικός στη διάσημη του αξιωματοποίηση της γεωμετρίας (που πρωτοδημοσιεύτηκε στα 1899) είναι οι όροι «σημείο», «γραμμή», «κείται» και «μεταξύ». Πρέ­πει να παραδεχτούμε ότι το σύνηθες περιεχόμενο αυτών των εκφράσεων παίζει ρόλο στη διαδικασία της ανακάλυψης και της εκμάθησης των θεωρημάτων. Καθώς τα περιεχόμενα αυτά είναι οικεία, αισθανόμαστε ότι καταλαβαίνουμε τις διάφορες συσχετί­σεις τους και μας παρακινούν στη διατύπωση και την επιλογή των αξιωμάτων. Ακόμα, προτείνουν και διευκολύνουν τη διατύ­πωση των προτάσεων που ελπίζουμε να αποδείξουμε ως θεωρή­ματα. Ωστόσο, όπως σαφώς το θέτει ο Hilbert, στο μέτρο που ενδιαφερόμαστε για το πρωταρχικό μαθηματικό έργο της εξερεύ­νησης των καθαρά λογικών σχέσεων εξάρτησης μεταξύ των προ­τάσεων, οι οικείες υποδηλώσεις των πρωταρχικών όρων πρέπει να αγνοηθούν και τα μόνα «περιεχόμενα» που πρέπει να συσχε­τιστούν μ’ αυτούς είναι εκείνα που τους έχουν αποδοθεί από τα αξιώματα στα οποία συμμετέχουν. Αυτό είναι και το νόημα της διάσημης επιγραμματικής φράσης του Russel: Καθαρά μαθημα­τικά είναι εκείνο το γνωστικό αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρου­με για τι πράγμα μιλάμε ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθές[5].

 

Ακόμη, όσο κι αν η ανάπτυξη της θεωρίας της Μαθηματικής Λογικής συνέβαλε πράγματι στους στόχους της, ποτέ δεν κατόρθωσε να μην υπόκεινται τα μαθηματικά στον κίνδυνο του λάθους εξαιτίας της χρήσης της κοινής γλώσσας. Αυτό είναι επόμενο, αφού το ίδιο το κατ’ εξοχήν εργαλείο, δηλαδή η  μαθηματική λογική, παρουσιάζεται με τη βοήθεια της κοινής γλώσσας. Όσα σύμβολα κι αν εισαχθούν, πριν από το πρώτο από αυτά θα υπάρχουν κάποιες λέξεις που, επειδή είναι δανεισμένες από την κοινή γλώσσα, κουβαλούν το … «προπατορικό αμάρτημα».

Τα κίνητρα για να χρησιμοποιηθούν τυπικές γλώσσες πέρασαν μια σημαντική εξέλιξη. Οι τυπικές γλώσσες χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τους Peano και Frege στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, με σκοπό να γίνει η μαθηματική απόδειξη πιο αυστηρή — να αυξήσει δηλαδή τη βεβαιότητα του συμπεράσματος σε μια μαθηματική επιχει­ρηματολογία. Όμως αυτός ο σκοπός δεν εκπληρωνόταν όσο η επιχει­ρηματολογία απευθυνόταν στον άνθρωπο αναγνώστη. Το βιβλίο Principia Mathematica των Russel και Whitehead ήταν η πραγματικά μεγά­λη προσπάθεια για την καθιέρωση της τυποποίησης των μαθηματικών. Έγινε αποδεκτό σαν ξεχωριστό παράδειγμα ενός αριστουργήματος που δε διαβάζεται.[6].

Στο σημείο αυτό αξίζει να παραθέσουμε ένα σπαρταριστό κειμενάκι. Ο Hans Freudenthal, μελετητής και θαυμαστής του έργου του Hilbert, αλλά και σπουδαίος παιδαγωγός,  διακωμωδώντας την τάση να περιέχουν τα μαθηματικά εγχειρίδια μόνο σύμβολα και ελάχιστες καθημερινές λέξεις, περιγράφει μια «μαθηματική θεωρία των συναντήσεων» που ξεκινά με τη δημιουργία του «μοντέλου» μιας συνάντησης:

«Μια συνάντηση είναι ένα διατεταγμένο σύνολο <Σ, Μ, π, γ, Κ1, Κ2, b, t1, t2, O, t3> που αποτε­λείται από

ένα φραγμένο τμήμα Σ του ευκλείδειου χώρου

ένα πεπερασμένο σύνολο Μ, των μελών που συμμετέχουν

δύο στοιχεία π και γ του Μ που καλούνται πρόεδρος και γραμματέας·

ένα πεπερασμένο σύνολο K1 που καλείται καρέκλες

ένα πεπερασμένο σύνολο K2 που καλείται φλιτζάνια του καφέ

ένα στοιχείο b που καλείται κουδούνι

μια ένα προς ένα απεικόνιση t1 του Μ στο K1

μια απεικόνιση t2 του K2 στο M

ένα διατεταγμένο σύνολο Ο, τις ομιλίες

μια απεικόνιση t3 του Ο στο Μ με την ιδιότητα ότι το π ανήκει στην εικόνα του t3.

Αν t3 είναι επί, είναι συνηθισμένο να λέγεται ότι ο καθένας πήρε το λόγο»[7].

 

Πέρα από την αδυναμία της επιστήμης της  Μαθηματικής Λογικής να λειτουργήσει με έννοιες έξω από εκείνες που ορίζονται αυθαίρετα, ήρθε ο Göedel να καταρρίψει και την άποψη ότι, έστω κι έτσι, είναι δυνατή η κατασκευή μιας αξιωματικά θεμελιωμένης θεωρίας πλήρους και συνεπούς. Συνεπές λέγεται ένα σύστημα αξιωμάτων, αν από τα αξιώματά του δεν είναι δυνατό να εξαχθούν αντιφατικά θεωρήματα. Πλήρες, έννοια αρκετά πολύπλοκη, σημαίνει εκλαϊκευμένα ότι κάθε πρόταση μπορεί μέσα στο σύστημα αυτό να αποδειχτεί ότι είναι αληθής ή ψευδής. Επειδή το ενδιαφέρον, αλλά και οι δυνατότητες του συντάκτη αυτού του άρθρου δε φτάνουν για μεγάλη ανάπτυξη, θα περιοριστώ στο ότι η διαπίστωση «Δεν μπορείς να φτιάξεις μια πλήρη δομή αποκλειστικά με στοιχεία της δομής αυτής» είναι κοινή για Μαθηματικούς π.χ. Göedel, Φυσικούς π.χ. Heiseberg και σύγχρονους γλωσσολόγους.

 

Συνεπώς, η μαθηματική λογική είναι δυνατό εργαλείο για τον έλεγχο της ορθότητας ενός ορισμού ή μιας πρότασης και κυρίως της συνέπειας μιας ολόκληρης μαθηματικής θεωρίας, όμως:

  • Στο θέμα της εισαγωγής νέων εννοιών η χρησιμότητά της είναι περιορισμένη. Οι ορισμοί των οποίων η μαθηματική λογική μπορεί να ελέγξει την ακρίβεια και τη συνέπεια είναι εσωτερικοί της αναπτυσσόμενης θεωρίας, επομένως άνευ νοήματος άλλου από αυτό που η ίδια η θεωρία τους δίνει. Στον τομέα αυτό η μαθηματική λογική έχει αξία μόνο σε σχέση με τα «καθαρά μαθηματικά» και δε φωτίζει ούτε καν την εφαρμογή αυτών των Μαθηματικών στις άλλες επιστήμες.
  • Η αξία της στον έλεγχο ορθότητας μιας πρότασης είναι ουσιώδης όταν χρησιμοποιούμε  ηλεκτρονικούς υπολογιστές ή όταν δημιουργούμε μια ολόκληρη θεωρία. Οι υπολογιστές, μη διαθέτοντας δική τους νοημοσύνη, χρειάζονται, μια κωδικοποιημένη «σκέψη» που κυρίως στηρίζεται στη «μνήμη». Από την άλλη, όταν θέλουμε να θεμελιώσουμε μια νέα θεωρία ή να ανασυστήσουμε σε νέα δομή μια υπάρχουσα θεωρία, ο προτασιακός λογισμός μας βοηθάει να σιγουρευτούμε, σε σχετικό πάντα βαθμό, για τη συνέπεια της θεωρίας αυτής, δηλαδή για την αποφυγή αντιφατικών συμπερασμάτων από τη χρήση των αξιωμάτων.
  • Η μαθηματική λογική στην πλήρη κωδικοποιημένη της μορφή ελάχιστα βοηθάει τη μελέτη μιας θεωρίας, την παραγωγή και την απόδειξη νέων προτάσεων.  Η μαθηματική κοινότητα δεν αντιμετώπισε σοβαρά προβλήματα ελέγχου της ορθότητας μιας απόδειξης αρκούμενη στην Αριστοτέλεια λογική. Δε βρέθηκαν τέτοιου είδους «λάθη» στις αποδείξεις των προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Όταν ένας μαθηματικός αποδεικνύει μια πρόταση, σπάνια υποχρεώνεται να προσφύγει στη μαθηματική λογική για να ελέγξει την ορθότητα των συλλογισμών του. Ακόμη όμως κι αν αυτό δεν ισχύει για μερικές εξαιρετικά πολύπλοκες αποδείξεις, αυτές δεν αφορούν τους μαθητές, επομένως, για να επανέλθω στο θέμα, καμιά βοήθεια δεν προσφέρει η μελέτη της Μαθηματικής Λογικής στους περισσότερους μαθητές.
  • Η μαθηματική λογική είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο για όποιον ήδη έχει μάθει να μελετάει μαθηματικά, αλλά δεν προσφέρει απολύτως τίποτε σε εκείνον που δεν έχει καταφέρει να νιώθει τα μαθηματικά οικεία.
  • Ακόμη, η μαθηματική λογική ουδόλως βοηθάει στην παραγωγή Μαθηματικών όπως έχουν τονίσει πάρα πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί, μάλλον δε στενεύει τη φαντασία, την επινοητικότητα, τα νοητικά άλματα που κρύβονται πίσω από κάθε μαθηματική ή άλλη ανακάλυψη. “Η υπέρμετρη ακριβολογία δεν πρέπει να μας κάνει να απορρίψουμε τους καρπούς της διαίσθησης”, τόνιζε ο Λάιμπνιτς. Αν αυτό ισχύει για μεγάλους μαθηματικούς, πόσο μάλλον για τους μαθητές μας!

Τέλος, είναι σφάλμα να θεωρούμε ότι οι ιδέες της Μαθηματικής Λογικής είναι πολύ σύγχρονη υπόθεση. Από τη μια, ας θυμηθούμε ότι η αντινομία του Russel ήταν στην πραγματικότητα γνωστή από την αρχαιότητα, για παράδειγμα με το επίγραμμα «Κρήτες αεί ψεύσται εισίν» που υπέγραφε ο Επιμενείδης ο Κρής (κρητικός), ενώ οι αρχαίοι μας πρόγονοι είχαν ανακαλύψει διάφορα «παράδοξα». Από την άλλη ας μην ξεχνάμε ότι ο διαλεκτικός υλισμός έδειξε πρώτος την ατέλεια της Αριστοτέλειας λογικής με τη θεωρία των αντιφάσεων, χωρίς τις οποίες κανένα σύστημα δεν εξελίσσεται, προαναγγέλλοντας κατά κάποιον τρόπο το θεώρημα της μη πληρότητας.

 

 

Απλά παιδαγωγικά επιχειρήματα

 

Αν η απάντηση είναι η συμβολική λογική, ποια ακριβώς είναι η ερώτηση; Ποιο εκπαιδευτικό πρόβλημα υποτίθεται ότι θα λύσει η διδασκαλία της συμβολικής λογικής; Μήπως από κάποια έρευνα ή έστω από συλλογή και ταξινόμηση κάποιων παρατηρήσεων έχει προκύψει ότι εκείνο που δυσκολεύει τους μαθητές στην πρόοδό τους στα μαθηματικά είναι η άγνοια μιας συμβολικής γλώσσας και στα διδακτικά εγχειρίδια και στην από μέρους τους αντιμετώπιση των διάφορων θεμάτων που μελετούν;

 

Αντίθετα, αυτό που όλοι παρατηρούμε είναι αφενός η αδυναμία των μαθητών να σκεφτούν απλά όταν πρόκειται να αντιμετωπίσουν μαθηματικά αφετέρου η δυσκολία τους να αξιοποιήσουν τις μαθηματικές γνώσεις σε διαφορετικό περιβάλλον. Σε ένα τμήμα Α΄ Γυμνασίου, αφού λύσαμε ένα απλό πρόβλημα κλασμάτων στο οποίο η απάντηση ήταν: «Άρα 3/8 της πίτσας έχουν βάρος 400 γραμμάρια και περιέχουν 800 θερμίδες», ζήτησα από τους μαθητές, αμέσως μετά, να γράψουν στο πρόχειρό τους την απάντηση στην ερώτηση: «Πόσες θερμίδες θα πάρουμε αν φάμε 3/8 αυτής της πίτσας;». Όσο κι αν φαίνεται παράδοξο, οι μισοί μαθητές έκαναν την αφαίρεση 800-400 και απάντησαν 400!

 

Τέτοια παραδείγματα τεκμηριώνουν την άποψη ότι οι μαθητές δυσκολεύονται να αντιμετωπίσουν ένα ερώτημα που τίθεται στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών, ακόμη κι αν έχουν όλες τις δυνατότητες να το κάνουν, επειδή τα μαθηματικά αποτελούν γι’ αυτούς έναν ξένο χώρο, ένα χώρο όπου πρέπει να σκέφτονται με ειδικό τρόπο. Η διδασκαλία επομένως της συμβολικής λογικής και η αύξηση των συμβόλων μεγεθύνει το συγκεκριμένο πρόβλημα αντί να διευκολύνει. Ακόμη όλοι συνάδελφοι που διδάσκουν Φυσική διαμαρτύρονται γιατί οι μαθητές δυσκολεύονται να λύσουν ακόμη και πρωτοβάθμιες εξισώσεις. Αυτό είναι σαφής ένδειξη της αδυναμίας των μαθητών να μεταφέρουν τη μαθηματική γνώση σε περιβάλλον διαφορετικό από αυτό στο οποίο τη διδάχτηκαν. Και αυτό το πρόβλημα θα οξυνθεί με την ένταση του μαθηματικού φορμαλισμού όπως είναι προφανές.

 

Γράφει ο Morris Kline στο βιβλίο του «Γιατί δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση ο Γιάννης», που αποτελεί έναν καταπέλτη κατά της διδασκαλίας των Νέων Μαθηματικών: «Έστω ότι, εξαιτίας της γενικής δυσαρέσκειας με τους μουσικούς που βγαίνουν στη χώρα μας, αποφασίζουμε ν’ αλλάξουμε τη μουσική εκπαίδευση. Ενδέχεται να έρθει μια ομάδα εκπαιδευτικών και να υποστηρίζει ότι δεν καταφέρνουμε να πάμε μπροστά γιατί εξακολουθούμε να διδάσκουμε Μπαχ, Μπετόβεν και Μπραμς. Αντί γι’ αυτούς, θα πρέπει να διδάσκουμε μοντέρνα μουσική. Ακόμα περισσότερο, θα πρέπει να διδάσκουμε τη φυσική θεμελίωση της μουσικής. Η φυσική θεμελίωση της μουσικής, τώρα, είναι στην ουσία η φυσική των ήχων και, ειδικότερα, των μουσικών ήχων. Κατά συνέπεια όσοι σπουδάζουν μουσική θα πρέπει να διδάσκονται κατά κύριο λόγο τη θεωρία της ηχητικής, αντί να παίζουν μουσική, ν’ ακούν μουσική και να μαθαίνουν τα μεγάλα μουσικά έργα του παρελθόντος, θα μπορούσε βέβαια να υποστηρίξει κάποιος ότι και η φυσική των μουσικών ήχων είναι αυτή καθαυτή ενδιαφέρουσα. Αυτό είν’ αλήθεια. Η τέλεια γνώση του αντικειμένου αυτού όμως, κι αν ακόμα υποθέσουμε ότι είναι παιδαγωγικά προσιτή στους νέους, δεν πρόκειται να δημιουργήσει μουσικούς».

 

Οι ένθερμοι υποστηρικτές της διδασκαλίας της Μαθηματικής Λογικής στους μαθητές δεν έχουν προσκομίσει κανένα παιδαγωγικό επιχείρημα. Τα επιχειρήματά τους αφορούν κυρίως το πώς θα κάνουμε λιγότερα λάθη. Σε πρόσφατη σειρά άρθρων (17),  ο συντάκτης ισχυρίζεται ότι έτσι τα μαθηματικά γίνονται σωστά, άρα σαφή κι επομένως μαθαίνονται ευκολότερα! Όμως, δεν έχουμε κανένα ερευνητικό δεδομένο ότι κάτι τέτοιο ισχύει. Εξάλλου, πολλές προχωρημένες θεωρίες είναι αναντίρρητα σωστές, αλλά αυτό δεν τις καθιστά κατάλληλες για διδασκαλία στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

 

Συνήθως, μιλώντας για μαθηματική λογική οι υποστηρικτές της, αναφέρονται αποκλειστικά στις αποδεικτικές μεθόδους, στη σωστή χρήση των ποσοδεικτών «για κάθε» και «υπάρχει» καθώς και των λογικών πράξεων της συνεπαγωγής, της ισοδυναμίας κ.τ.λ. Θα πρέπει εδώ να τονίσουμε αφενός ότι η αξία της Μαθηματικής Λογικής κάθε άλλο παρά σ’ αυτό το σημείο βρίσκεται, καθώς και ότι μιλάμε για εισαγωγή στη μαθηματική λογική και τον προτασιακό λογισμό, όπου οι περισσότεροι κανόνες είναι απλές εφαρμογές της κοινής λογικής και δε χρωστάνε πολλά στη σύγχρονη μαθηματική λογική που τις κωδικοποίησε εντάσσοντάς τις σε μια ενιαία θεωρία.

 

Κατά κανόνα όσοι υποστηρίζουν τη διδασκαλία της Μαθηματικής Λογικής είναι υπέρμαχοι και της μεγάλης αυστηρότητας στην παρουσίαση της θεωρίας. Ο Henri Poincare όμως, σ’ ένα άρθρο για τη λογική και τη διαίσθηση γράφει: «Όταν ένας μαθητής αρχίζει στα σοβαρά να μελετά τα μαθηματικά, πιστεύει ότι ξέρει τι είναι κλάσμα, τι είναι συνέχεια και τι είναι το εμβαδόν μιας καμπυλόγραμμης επιφάνειας, θεωρεί προφανές λόγου χάρη ότι μια συνεχής συνάρτηση δε μπορεί ν’ αλλάξει πρόσημο χωρίς να μηδενιστεί. Αν, χωρίς να τον προετοιμάσεις καθόλου, του πεις:

 

«Όχι, αυτό δεν είναι καθόλου προφανές, θα πρέπει να σου το αποδείξω», κι αν η απόδειξη βασίζεται σε αρχές που δε φαίνονται σ’ αυτόν πιο προφανείς από το συμπέρασμα, τότε τι θα σκεφτεί ο δύστυχος ο μαθητής; θα σκεφτεί ότι η επιστήμη των μαθηματικών είναι απλούστατα μια αυθαίρετη συσσώρευση άχρηστων ακριβολογιών. Είτε θα τον αηδιάσει αυτό είτε θα το γλεντήσει σαν παιχνιδάκι και θ’ αποκτήσει νοοτροπία αντίστοιχη με των αρχαίων ελλήνων σοφιστών».

Εκείνο που κυρίως λείπει από τους μαθητές δεν είναι ούτε η κωδικοποίηση ούτε η αυστηρή θεμελίωση των εννοιών, αλλά η απόκτηση της κοινής λογικής και, περισσότερο, η αξιοποίησή της στα Μαθηματικά. Ο μαθητής που δεν μπορεί να κάνει συλλογισμούς της κοινής λογικής, δεν μπορεί ούτε να καταλάβει τους κανόνες του προτασιακού λογισμού ούτε να τους εφαρμόσει. Αντίθετα, εκείνοι που μπορούν να σκεφτούν απλά και λογικά, εκείνοι που έχουν ήδη μάθει επιτυχημένα να κάνουν συλλογισμούς στις ασκήσεις των Μαθηματικών θα βρουν τον κωδικοποιημένο λογισμό ευχάριστο παιχνίδι, θα σιγουρέψουν μέσα από τους κανόνες του τον τρόπο που ήδη ήξεραν να σκέφτονται και, ένα μέρος απ’ αυτούς, ίσως βοηθηθούν σε κάποιες πολύ δύσκολες θεωρητικές αποδείξεις για να ελέγξουν την ακρίβεια της μεθόδου που έχουν ήδη σχεδιάσει.

 

Η διδασκαλία της συμβολικής λογικής και η διαφήμισή της ως απαραίτητου εργαλείου για την εκμάθηση των Μαθηματικών αποθαρρύνει τους μαθητές. Αν το βασικό εργαλείο των Μαθηματικών είναι τόσο δύσκολο, γεμάτο τύπους και κανόνες, πόσο μακρινός στόχος πρέπει να είναι η γνώση των ίδιων των Μαθηματικών! Πόσοι θα άντεχαν να δώσουν για δίπλωμα οδήγησης αν έπρεπε πρώτα να μάθουν τα πάντα για τον τρόπο λειτουργίας του αυτοκινήτου;

 

Τι προσδοκούν επομένως οι οπαδοί της διδασκαλίας της λογικής; Αν διδάσκαμε ως ξεχωριστό μάθημα την ιστορία ή τη φιλοσοφία των Μαθηματικών, η συμβολική λογική θα είχε περίοπτη θέση και θα προσέφερε σημαντική γνώση, δε θα αύξανε όμως την επιδεξιότητα των μαθητών στα μαθηματικά. Εντέλει το μόνο επιχείρημα είναι ότι όποιος γνωρίζει να εφαρμόζει τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής κάνει λιγότερα λάθη. Παρακάτω θα απαντήσω στον ισχυρισμό αυτό. Όμως το πρόβλημα της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι τα λεπτά λάθη που κάνουν οι μαθητές; Λέω τα λεπτά λάθη, γιατί φαντάζομαι κανείς δεν πιστεύει ότι είναι η μαθηματική λογική που θα βοηθήσει το μαθητή να μη θεωρεί παραγοντοποιημένη μορφή του τριωνύμου χ2 –χ-2 το χ(χ-1)-2, να παραλείπει το διπλάσιο γινόμενο σε μια ύψωση αθροίσματος στο τετράγωνο ή να απαλλάσσεται από την απόλυτη τιμή στην παράσταση |2χ-1| διακρίνοντας τις περιπτώσεις χ>0 και χ<0 κ.τ.λ.

 

Λοιπόν η ζωή έχει αποδείξει ότι το κυρίαρχο πρόβλημα είναι να κάνει ο μαθητής ένα στοιχειώδες σχέδιο για τη λύση μιας ασκήσεως και όχι να αποφύγει τα λάθη. Ο μαθητής που κατακτά αυτό το στόχο μπορεί να ανέβει το επόμενο σκαλί. Αν όλοι οι μαθητές προτού κατακτήσουν αυτό το στάδιο, μάθουν τι λάθη υπάρχει κίνδυνος να κάνουν θα περιοριστεί σημαντικά ο αριθμός εκείνων που θα κάνουν αυτό το σημαντικό βήμα.

 

Όσο για τους μαθητές που καταφέρνουν να λύνουν ασκήσεις, εύκολα θα μάθουν να αποφεύγουν τα λάθη με την κατάλληλη υπόδειξη του καθηγητή τους ο οποίος, όταν έχει καλό υλικό, μπορεί ακόμη και να διδάξει κάποια στοιχεία της Μαθηματικής Λογικής προσαρμοσμένα στο συγκεκριμένο στόχο της διδασκαλίας του.
Αξίζει επομένως να διδάξουμε στοιχεία μαθηματική λογική και προτασιακό λογισμό στο σχολείο; Η απάντηση είναι απόλυτα αρνητική. Κάποια όμως πολύ βασικά στοιχεία πρέπει να διδαχθούν. Ποια είναι αυτά; Οι βασικές μέθοδοι απόδειξης, η ορθή χρήση του «συνεπάγεται», της «ισοδυναμίας» και του «αρκεί», η έννοια του «για κάθε», του «υπάρχει» και των αρνήσεών τους κ.τ.λ. Όλα αυτά ήταν γνωστά στους μαθηματικούς από την αρχαιότητα, αλλά χωρίς το συμβολισμό τους. Από τα σύμβολα της Μαθηματικής Λογικής αρκούν το συνεπάγεται και η ισοδυναμία και τούτο για να είναι πιο «μαζεμένη» η παρουσίαση των αποδείξεων.
 

Η “κοινή” λογική είναι αρκετή

Κατά τα άλλα η συμβολική λογική έχει κάποια προσφορά στις αρνήσεις εξαιρετικά σύνθετων προτάσεων όπως π.χ. ο ορισμός του ορίου μιας ακολουθίας ή συνάρτησης, καθώς και σε πολύ ειδικές περιπτώσεις τελείως τεχνητών ερωτημάτων, όπως π.χ. «να δειχτεί ότι αν η εξίσωση χ2-χ-α2=0 είναι αδύνατη, τότε α332+2». Η τελευταία άσκηση είναι απόδειξη συνεπαγωγής που, επειδή έχει ψευδή υπόθεση (Διακρίνουσα Δ=1+4α2>0) ισχύει ανεξάρτητα με το αν το συμπέρασμα αληθεύει ή όχι. Μια τέτοια «άσκηση» διαφήμιζε ένας από τους πλέον ένθερμους οπαδούς της διδασκαλίας της μαθηματικής λογικής, ισχυριζόμενος ότι δείχνει την αξία της. Όμως αποστομώθηκε όταν του ανέφερα αληθινή ιστορία με το φτωχό πατέρα μου. Για να με πείσει να τρώω γιατί ήμουν πολύ αδύνατος, μου είχε τάξει ότι θα μου αγοράσει ποδήλατο, αν μέσα σε ένα καλοκαίρι κατάφερνα από 13 οκάδες να γίνω 20! Ποτέ δε θα μπορούσε να μου αγοράσει ποδήλατο στην οικονομική κατάσταση που βρισκόταν. Όμως και η υπόθεση της συνεπαγωγής «πάχυνση κατά 7 οκάδες Þαγορά ποδηλάτου» ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί, οπότε δεν έβγαινε ψεύτης! Ο συχωρεμένος δεν είχε τελειώσει ούτε το Δημοτικό και σίγουρα δεν είχε σπουδάσει κανόνες μαθηματικής λογικής, αλλά, όπως βλέπετε, δεν του χρειάστηκαν για να εφαρμόσει έναν απ’ αυτούς στην πράξη.

 

Όσο για την άρνηση πολύπλοκων προτάσεων όπως του ορισμού της ακολουθίας έχω εξαιρετικά δυσάρεστη εμπειρία από ένα τμήμα φοιτητών Μαθηματικού στους οποίους δίδασκα Ανάλυση σε κάποιο φροντιστήριο και, παρότι τους είχα διδάξει τους βασικούς κανόνες της συμβολικής λογικής, χρειάστηκε ολόκληρη διδακτική ώρα για να μπορέσουν να αποδείξουν μόνοι τους με βάση τον ορισμό ότι μια ακολουθία δεν ήταν μηδενική.
Προς επίρρωση όσων ισχυριστήκαμε, θα παρουσιάσουμε μερικά από τα συνήθη λάθη που αποδίδονται σε άγνοια των κανόνων της μαθηματικής λογικής, υποδεικνύοντας πώς η κοινή λογική αρκεί για τη διόρθωσή τους.

  1. f(x)g(x)=0 για κάθε xÎA έπεται ότι κάποια από τις δύο συναρτήσεις είναι μηδενική στο Α.

Χρειάζεται άραγε να γνωρίζουμε ότι δε συνεπάγεται ότι για να καταλάβουμε ότι αυτό είναι λανθασμένο συμπέρασμα; Αντί ο μαθητής να φορτώνεται με τύπους επί τύπων και να πρέπει να θυμάται τι ισχύει και τι δεν ισχύει, δεν είναι απλούστερο να του θυμίσουμε πώς θα σκεφτόταν εκτός μαθηματικών; «Όλοι οι Ιρακινοί είναι Σιίτες ή Σουνίτες. Προκύπτει άραγε το συμπέρασμα ότι είναι όλοι Σιίτες ή όλοι Σουνίτες;» Η απλή μεταφορά αυτού του οικείου στο μαθητή τρόπου σκέψης από το Ιράκ στο σύνολο Α, από την f(x)=0 ή g(x)=0 στους Σιίτες ή τους Σουνίτες έλυσαν το πρόβλημα χωρίς περαιτέρω επιβάρυνση με απομνημόνευση τύπων. Επιπλέον νιώθει την ικανοποίηση ότι τα μαθηματικά δεν είναι για υπερανθρώπους, αλλά είναι προσιτά σε όποιον ξέρει να σκέφτεται.

 

  1. Το σφάλμα της «λήψης του αιτουμένου»

 

Το να ξεκινούν πολλοί μαθητές μια απόδειξη από την αποδεικτέα σχέση και να θεωρούν ότι την απέδειξαν επειδή κατέληξαν σε κάτι αληθές, οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στα σχολικά εγχειρίδια στα οποία αυτή η μέθοδος ακολουθείται χωρίς επισήμανση των συνθηκών που την κάνουν στις συγκεκριμένες αποδείξεις σωστή. Δε χρειάζεται να ξέρει κανείς ότι με q αληθή δε σημαίνει ότι η p είναι αληθής. Αρκεί να καταλαβαίνει ότι αν και αν κάποιος έχει εισόδημα 3000 € το χρόνο στερείται οικονομικά, το ότι στερείται οικονομικά δε σημαίνει ότι έχει ετήσιο εισόδημα 3000 €. Για να αποφεύγουν τέτοια λάθη πάντως οι μαθητές πρέπει να τους ξεκαθαρίσουμε ότι αν για κάποιο λόγο ξεκινήσουν την απόδειξή τους από την αποδεικτέα σχέση πρέπει να αναζητούν νέες σχέσεις που είναι αρκετό να αληθεύουν για να εξασφαλίζεται η αλήθεια της κάθε προηγούμενης σχέσης. Η διαδικασία «ανάλυση – σύνθεση» εξάλλου, συνηθισμένη στη Γεωμετρία πολλούς αιώνες πριν από τη φορμαλιστική μαθηματική λογική δίνει ένα άλλο δίδαγμα για το ότι οι σχέσεις που συνδέονται με την αποδεικτέα είναι πιθανόν χρήσιμες ως αφετηρία απόδειξης, αλλά κάθε άλλο παρά αποτελεί απόδειξη το να φτάσουμε σ’ αυτές από την αποδεικτέα. Ας σημειωθεί ότι κάποιος «κολλημένος» στον προτασιακό λογισμό σε κορωνίδα δεσμεύεται από τις «αρχές» του να ακολουθήσει αυτήν την τόσο χρήσιμη αποδεικτική μέθοδο. Θα αναλώσει όλο του το χρόνο να ερευνά κατά πόσο κάθε βήμα αρκεί για να εξασφαλίζει την αλήθεια της προηγούμενης σχέσης, ενώ, πιθανώς, η πορεία από το τέρμα της μεθόδου της ανάλυσης – σύνθεσης προς την αποδεικτέα να μπορεί να ακολουθήσει τελείως ανεξάρτητο και πιο εύκολο δρόμο. 

 

  1. Το σφάλμα της ειδίκευσης

 

Η απόδειξη μιας πρότασης καθολικής ισχύος ειδικεύοντας σε ένα μέρος μόνον των στοιχείων του συνόλου στο οποίο ζητείται να αποδειχθεί ότι ισχύει καθολικά, είναι από τα πρώτα πράγματα που διδάσκεται ο μαθητής στο μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, άρα δε χρειάζεται να τεκμηριώσουμε ότι δεν οφείλει χάρη στη μαθηματική λογική και τον προτασιακό λογισμό. Καλό είναι όμως να θυμόμαστε ότι πολλές μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις οφείλονται στο «λάθος» αυτό. Όταν ο μαθηματικός ερευνά, παίρνει συχνά αφορμή από συγκεκριμένες περιπτώσεις και προσπαθεί να γενικεύσει. Πολλές φορές νιώθει ότι έχει βρει κάτι καινούργιο, ακόμη κι αν δεν το έχει αποδείξει. Το πασίγνωστο θεώρημα του Fermat, είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν είχε αποδειχθεί από τον πρίγκιπα των ερασιτεχνών, μα δε νομίζω αυτό να μειώνει την αξία και του θεωρήματος και του ιδίου. Το να επιδιώκεται η «κάθαρση» των Μαθηματικών από τον κίνδυνο του λάθους και της αντίφασης είναι ευγενικός στόχος, αλλά ούτε εφικτός είναι ούτε μπορεί να είναι στόχος εκείνου που ακόμη σπουδάζει μαθηματικά χωρίς να πρόκειται να γίνει μαθηματικός.

 

  1. Τα λάθη που σχετίζονται με τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες

 

Τα λάθη εκείνα που σχετίζονται με τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες γίνονται περισσότερο από τους μαθητές που τους χρησιμοποιούν, παρά από εκείνους που απλώς έχουν καταλάβει ότι: δείχνω ότι κάτι ισχύει για κάθε χ σημαίνει ότι το αποδεικνύω για όλες τις τιμές του χ, άρα ή παίρνω ένα – ένα ή ομάδες – ομάδες τις τιμές του χ και αποδεικνύω την πρόταση ή την αποδεικνύω για το τυχόν χ, χωρίς τα λάθη της ειδίκευσης που προαναφέραμε. Δείχνω ότι μια πρόταση που αφορά όλα τα χ είναι ψευδής σημαίνει ότι μου αρκεί παράδειγμα ενός χ που διαψεύδει την πρόταση. Αυτά τα είχε διατυπώσει ο Αριστοτέλης με μεγάλη σαφήνεια και παλιότερα τα διδασκόμαστε στο μάθημα της Λογικής που το δίδασκαν φιλόλογοι!

 

  1. Διάφορα πολυσυζητημένα λάθη

 

Πρόκειται για λάθη τα οποία διαφημίζουν οι υποστηρικτές της διδασκαλίας της μαθηματικής λογικής, γι’ αυτό αξίζει τον κόπο να τα παρουσιάσουμε.

α) Αποδεικνύουμε π.χ. ότι |z|≤ 3, για κάθε  και μερικοί μαθητές θεωρούν ότι μέγιστη τιμή του |z| είναι το 3. Χρειάζεται άραγε να ξέρει ο μαθητής ότι , (όπου P(z) είναι ο προτασιακός τύπος “|z|<3”, και Q(z) ο “|z|= 3”) δε συνεπάγεται ότι υπάρχει τιμή του z για την οποία να αληθεύει ο προτασιακός τύπος Q(z) όπως υπονοεί το λάθος συμπέρασμα ότι το 3 είναι η μέγιστη τιμή του |z| για να αντιληφθεί το λάθος στο συλλογισμό; Όχι. Αρκεί να έχει καταλάβει ότι μια σχέση ≤ δηλώνει απλώς «όχι μεγαλύτερος». Το να μπορεί να περάσει κάποιος από μια πόρτα χωρίς να χρειαστεί να σκύψει σημαίνει ότι έχει ύψος ≤ 2,10 μέτρων, αλλά το ότι όλοι οι μαθητές της τάξης μπορούν να περάσουν όρθιοι την πόρτα δε σημαίνει ότι ο ψηλότερος είναι ακριβώς 2,10! Οι μαθητές που έχουν καταφέρει τέτοιους απλούς καθημερινούς συλλογισμούς να τους κάνουν και όταν λύνουν μαθηματικά, μπορούν να αντεπεξέλθουν μια χαρά στις απαιτήσεις του μαθήματος. Οι άλλοι χρειάζονται μια βδομάδα για να καταλάβουν τι εννοούν οι συμβολισμοί της συμβολικής λογικής που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω!

 

β) Αν, για κάθε πραγματική τιμή του x, να βρεθεί, αν υπάρχει, η συνάρτηση f. Από την παραγώγιση των δύο μελών προκύπτει ότι f(x)=2x, συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ζητούμενη συνάρτηση f είναι η , με f(x)=2x. Εδώ ο οπαδός της διδασκαλίας της συμβολικής λογικής θα θριαμβολογήσει! Η παραγώγιση δε δίνει ισοδύναμη ισότητα συναρτήσεων, αν λοιπόν ο μαθητής δεν ξέρει ότι πρέπει να έχουμε ισοδυναμία, ώστε να ελέγξει αν ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή, την πάτησε! Πράγματι, οπότε η λύση που βρήκαμε απορρίπτεται, επομένως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Συμφωνούμε απόλυτα. Όπως προείπαμε, πρέπει να διδάσκεται η διαφορά του συνεπάγεται από τη ισοδυναμία, και κυρίως το πότε είναι η ισοδυναμία απαραίτητη. Πιστεύει όμως κανείς ότι αυτό συνιστά διδασκαλία συμβολικής λογικής; Εκείνο που πρέπει να διδάσκεται είναι ότι: Όταν ζητείται μια συνάρτηση, μια τιμή κ.τ.λ. το αποτέλεσμα πρέπει και να επαληθεύει τη δεδομένη συνθήκη.

 

γ) Στο σημείο αυτό πρέπει να τονίσουμε ότι πολλά σχολικά εγχειρίδια και βοηθήματα πάσχουν από ορθή χρήση της ελληνικής γλώσσας που είναι μερικές φορές αποπροσανατολιστική. Συναντάμε ασκήσεις με εκφώνηση: Να βρεθεί «η συνθήκη ώστε…» ή να βρεθεί «συνθήκη ώστε …». Εδώ δεν πρόκειται για έλλειψη μαθηματικής αυστηρότητας, αλλά για κακά ελληνικά! Το οριστικό άρθρο «η» στην πρώτη περίπτωση υπονοεί μοναδικότητα της ζητούμενης συνθήκης κι αυτό παραπέμπει ευθέως στην ισοδυναμία! Διαφορετικά, πώς μπορεί να ελέγξει κάποιος κατά πόσο δεν υπάρχει κάποια άλλη συνθήκη από αυτή που θα βρει; Συνήθως όμως ο εκφωνητής εννοεί τη δεύτερη εκφώνηση «να βρεθεί (κάποια) συνθήκη». Κατά κανόνα παραπέμπει το μαθητή σε κάποια πρόταση της θεωρίας που λέει ότι αναγκαία συνθήκη για να ισχύει το ζητούμενο είναι η τάδε. Όμως με τίποτε δεν μπορεί η εκφώνηση αυτή να οδηγήσει το  μαθητή υποχρεωτικά στη ζητούμενη από τον εκφωνητή απάντηση!  Π.χ. «Να βρεθεί σχέση μεταξύ των συντελεστών λ,μ ώστε το σύστημα

να είναι συμβιβαστό. Ο εκφωνητής προφανώς θέλει από το μαθητή να του απαντήσει ότι η ορίζουσα του επαυξημένου πίνακα είναι μηδενική, απ’ όπου προκύπτει λ2+λ+α=0. Κι αν ο μαθητής ντριμπλάρει απαντώντας: Μια συνθήκη είναι (λ,α)≠(2,0), επειδή παρατήρησε ότι με λ=2 και α=0 οι δύο τελευταίες εξισώσεις γίνονται 2x+2y=-1, 2x+2y=2 που είναι ασυμβίβαστες; Είναι λάθος; Καλύτερα ελληνικά πρέπει να μιλούν οι μαθητές μας κι εμείς οι δάσκαλοί τους. Καλή γνώση και χρήση της γλώσσας βοηθάει αποφασιστικά σε κάθε τομέα της σκέψης και στα μαθηματικά.

 

δ) Άλλα λάθη που οφείλονται σε μη προσεκτική μελέτη της θεωρίας κακώς χρεώνονται στην άγνοια της συμβολικής λογικής. Όταν για παράδειγμα κάποιος από την πρόταση f΄(x)=0 για κάθε x συμπεραίνει ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή, δεν κάνει λάθος λογικής, αλλά απλώς αγνοεί ότι το σχετικό θεώρημα προϋποθέτει ότι η παράγωγος είναι μηδενική σε διάστημα. Ομοίως όταν διαιρεί τα δύο μέλη μιας ισότητας με μια παράσταση που δεν είναι πάντα διάφορη του μηδενός, όταν υψώνει στο τετράγωνο τα δύο μέλη μιας ανισότητας χωρίς να γνωρίζει αν είναι θετικά ή αρνητικά κ.τ.λ.

 

Θα κλείσουμε με τον Morris Kline και πάλι: «Πολλά σύμβολα δεν εξυπηρετούν σχεδόν κανένα σκοπό. Η κοινή γλώσσα είναι καλύτερη. Η ελάχιστη οικονομία χώρου αντι­σταθμίζεται με το παραπάνω από τα ψυχολογικά τραύματα που προκαλεί ο συμβολισμός στους μαθητές. Η αφειδής χρήση συμβό­λων κάνει πιο δύσκολη την ανάγνωση και την κατανόηση. Όταν το βάρος που έχει το να θυμόμαστε τι σημαίνει ένα σύμβολο γίνεται μεγάλο, κάνουμε περισσότερο κακό από το αν τα διατυπώ­ναμε όλα στην κοινή γλώσσα. Επιπλέον τα σύμβολα τρομάζουν τους μαθητές και γι αυτό θα έπρεπε να χρησιμοποιούνται με μεγάλη φειδώ. Η δυσκολία να θυμόμαστε το νόημα καθώς και η εν γένει αποκρουστικότητα των συμβολικών εκφράσεων, απωθούν κι ενοχλούν τους μαθητές. Τα σύμβολα μοιάζουν μ’ εχθρικά λάβαρα που κυματίζουν πάνω σε μια φαινομενικά άπαρτη ακρό­πολη. Το ίδιο το γεγονός ότι τα σύμβολα εισήχθηκαν στα μαθημα­τικά σε κάπως άξια λόγου έκταση κατά τον δέκατο έκτο και τον δέκατο έβδομο αιώνα, υποδεικνύει ότι δεν έρχονται εύκολα στο μυαλό των ανθρώπων.

Ο συμβολισμός μπορεί να εξυπηρετήσει τρεις σκοπούς. Μπο­ρεί να μεταδώσει αποτελεσματικά ιδέες. Μπορεί να καλύψει ιδέες. Και μπορεί να καλύψει την απουσία ιδεών. Συχνά φαίνεται ότι τα εγχειρίδια των Νέων Μαθηματικών χρησιμοποιούν κατά κόρον σύμβολα για να καλύψουν τη φτώχεια των ιδεών τους»[8].

 

 

 

 

 

Επίλογος

 

Αν κάποιος γνωρίζει τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής έχει ένα επιπλέον όπλο στον έλεγχο ακρίβειας μιας απόδειξης. Όμως και χωρίς αυτούς μπορεί θαυμάσια να επιβιώσει, εκτός αν θέλει να στήσει ένα νέο δικό του αξιωματικό σύστημα, για πολλά μεγάλα ζητήματα του οποίου, όπως απέδειξε και ο Goedel, δεν επαρκεί. Εξάλλου, για την πλειονότητα των μαθητών, είναι πολύ δυσκολότερο να καταλάβουν τους κανόνες της μαθηματικής λογικής, παρά να τους εφαρμόζουν χωρίς να τους γνωρίζουν. Αρκεί να μάθουν να σκέπτονται απλά και να μεταφέρουν στα μαθηματικά το γενικότερο τρόπο σκέψης που οφείλουν να αποκτήσουν. Έτσι θεωρώ απαράδεκτη και επιβλαβή τη διδασκαλία της συμβολικής λογικής στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση, χωρίς όμως τις υπερβολές της κατάργησης ακόμη και του συνεπάγεται ή των ασαφών αποδείξεων των σχολικών βιβλίων όπως π.χ. όταν ξεκινούν από την αποδεικτέα σχέση. Να προτείνουμε αλλαγές στην κατεύθυνση αυτή είναι σωστό και αναγκαίο. Να ζητάμε τη διδασκαλία της Μαθηματικής Λογικής όμως είναι λάθος το οποίο το έχουν ήδη πληρώσει ολόκληρες γενιές μαθητών ανά τον κόσμο.

 

Σ. Μαρίνης, καθηγητής Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

 

Βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε:

 

(1) E. Nagel, J.R.Newman, Το Θεώρημα του Gödel, ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1991

(2) G. Polya: Πώς να το λύσω, ΣΠΗΛΙΩΤΗΣ

(3) Imre Lakatos: Αποδείξεις και Ανασκευές, ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1996

(4) Jacques Hadamard: Η ψυχολογία της επινόησης στα μαθηματικά, ΚΑΤΟΠΤΡΟ 1995

(5) Kuhn: Η δομή των επιστημονικών επαναστάσεων, ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

(6) Martin Hughes: Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών, GUTENBERG 2000

(7) Morris Kline: Γιατί δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση ο Γιάννης, ΒΑΝΙΑΣ 1990

(8) P.J.Davis, R.Hersh: Η μαθηματική εμπειρία, ΤΡΟΧΑΛΙΑ

(9) Pamala Byrd Cemen: Το άγχος για τα Μαθηματικα, ΠΑΡΟΥΣΙΑ 1989

(10) Paul Feyerabend: Ενάντια στη Μέθοδο, ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΘΕΜΑΤΑ, 1989

(11) Α. Κυριακόπουλος: Μαθηματική Λογική, ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ

(12) Αθανάσιος Γαγάτσης: Θέματα διδακτικής των Μαθηματικών, ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ 1993

(13) Έβαλντ Ιλένκοφ: Τεχνοκρατία και ανθρώπινα ιδεώδη στο σοσιαλισμό, ΟΔΥΣΣΕΑΣ 1976

(14) Νικολάου Ράπτη: Ζαν Πιαζέ, ΑΘΗΝΑ 1983

(15) Τάσος Πατρώνης, Δημήτρης Σπανός: Σύγχρονες θεωρήσεις και έρευνες στη Μαθηματική Παιδεία, ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 2000

(16) Τάσος Πατρώνης: Θεμελιώδεις Μαθηματικές Έννοιες, ΔΙΠΤΥΧΟ 2001

(17) Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ τεύχη

Φράσεις που αποδίδονται στους Russel, Pascal, Lebesque, Leibniz και Poincare βρέθηκαν σε διάφορα βιβλία και στο διαδίκτυο.

 

[1] Στη θεωρία των σταδίων αναφέρεται η δυνατότητα παιδιών μικρής ηλικίας να έχουν κάποια αίσθηση προχωρημένων μαθηματικών εννοιών της θεωρίας των συνόλων και της τοπολογίας για παράδειγμα, αλλά μόνο ως αίσθηση και ασφαλώς χωρίς τη συμβολική μαθηματική γλώσσα που αναφέρεται στις έννοιες αυτές (14).

[2] Η χώρα μας και άλλες περιφερειακές χώρες ήταν τελευταίες, ενώ στη Δύση η υπόθεση είχε κλείσει πριν από το 1980.

[3] Ο όρος φορμαλισμός στο κείμενο δεν έχει την τρέχουσα έννοια της τυπολατρίας. Σύμφωνα με τον φορμαλισμό, όπως χρησιμοποιεί τον όρο ο συντάκτης αυτής της εργασίας, τα Μαθηματικά αποτελούνται από τυπικά σύμβολα και εκφράσεις, που ο μαθηματικός τα χειρίζεται με προκαθορισμένους κανόνες. Στην απόλυτη εφαρμογή του οι συμβολικές παραστάσεις αντιμετωπίζονται χωρίς καμία αναφορά στη σημασία τους, στο νόημά τους. Κατά τον Hilbert ο φορμαλισμός δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια φιλοσοφική επιλογή που έχει στόχο να απαλλάξει τις μαθηματικές θεωρίες από τον κίνδυνο του λάθους.

[4] Μια ενδιαφέρουσα ανάλυση των όρων αλήθεια και πραγματικότητα μπορεί να δει ο αναγνώστης στην ιστοσελίδα http://hyperion.math.upatras.gr/courses/sts/thefoit/erg99/terizioti_etal/

[5] Nagel-Newman, Το Θεώρημα του Gödel, ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1991, σελ. 20,21

[6] P.J.Davis, R.Hersh: Η μαθηματική εμπειρία, ΤΡΟΧΑΛΙΑ σελ. 147

 

[7] P.J.Davis, R.Hersh: Η μαθηματική εμπειρία, ΤΡΟΧΑΛΙΑ σελ. 149

[8] Morris Kline: Γιατί δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση ο Γιάννης, ΒΑΝΙΑΣ 1990

 

Recent Posts

Leave a Comment

Επικοινωνήστε μαζί μας

Στείλτε μας μήνυμα και θα επικοινωνήσουμε σύντομα μαζί σας.

Δεν διαβάζεται; Αλλάχτε κείμενο. captcha txt