Σ. Μαρίνης: “Ο ρόλος του PISA στη μαθηματική εκπαίδευση”

 In Άρθρα, Νέα

Ο ρόλος του PISA στη μαθηματική εκπαίδευση

 

Στέλιος Μαρίνης, μαθηματικός – συγγραφέας

 

Εισαγωγή

Η Γλώσσα και τα Μαθηματικά είναι οι πυλώνες της επιστήμης και της σκέψης. Ενώ όμως τη Γλώσσα τη «διδάσκει» όλη η κοινωνία, τα Μαθηματικά διδάσκονται σχεδόν αποκλειστικά στην οργανωμένη εκπαίδευση. Υπό την έννοια αυτή η μαθηματική εκπαίδευση, αν και πρώτιστο είναι η Γλώσσα, είναι εξίσου καθοριστική με τη γλωσσική για το τελικό αποτέλεσμα της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο σχολείο.

Το σχολείο, στον καπιταλισμό, έχει τρεις κύριους ρόλους:

  1. Τη συμβολή στην οικονομική ανάπτυξη
  2. Την επιβολή της κυρίαρχης ιδεολογίας
  3. Την ταξική κατανομή των μελών της κοινωνίας για να αναπαραχθούν οι κυρίαρχες κοινωνικές δομές.

Η μαθηματική εκπαίδευση παίζει αποφασιστικό ρόλο στον τομέα της οικονομικής ανάπτυξης, γι’ αυτό και δίνεται παγκόσμια μεγάλη έμφαση στο μάθημα των Μαθηματικών. Είναι όμως παράλληλα και κατ’ εξοχήν μέσο κοινωνικής κατανεμητικότητας, καθώς είναι το κλειδί για την περαιτέρω εκπαίδευση στις θετικές επιστήμες και τη σύγχρονη τεχνολογία. Τέλος, δεν είναι ασήμαντος ο ρόλος της και στον ιδεολογικό τομέα, καθώς τα Μαθηματικά, μαζί με τις Φυσικές επιστήμες, βοηθούν στην κατανόηση της φύσης, ελευθερώνουν τον άνθρωπο από αντιεπιστημονικές δεισιδαιμονίες και τον ασκούν στην αναζήτηση της αλήθειας.

Η σημασία της μαθηματικής εκπαίδευσης για την παραγωγή, την οικονομική ανάπτυξη και τον ανταγωνισμό είναι προφανής. Οι νέοι κοινωνικοί ρόλοι των τάξεων επιβάλλουν νέο τύπο γνώσεων και δεξιοτήτων για τα παιδιά κάθε τάξης. Το νέο μοντέλο εργαζόμενου με τη μετατροπή της βαριάς χειρωνακτικής εργασίας σε πιο πνευματικές μορφές και η εργασιακή ευελιξία επιβάλλουν λιγότερο σφιχτές εκπαιδευτικές διαδικασίες, πιο ελεύθερες μορφές διδασκαλίας και πολύ μεγαλύτερο πλάτος δεξιοτήτων. Επιβάλλουν ακόμη περισσότερη αίσθηση ελευθερίας και υπερτονισμό της ατομικής ευθύνης.

 

PISA: Ο Δούρειος Ίππος των εθνικών εκπαιδευτικών συστημάτων

Στη σύγχρονη εποχή οι διεθνείς οργανισμοί προσπαθούν να επιβάλουν ενιαία εκπαιδευτική πολιτική που να συνάδει με τους στόχους του υπερεθνικού κεφαλαίου. Για τους τρόπους με τους οποίους το πετυχαίνουν στις εκπαιδευτικές δομές ο Σελιδοδείκτης ασχολήθηκε στο προηγούμενο τεύχος. Όμως δεν υπάρχουν θεσμικά μέσα για την επιβολή των επιθυμητών αναλυτικών προγραμμάτων και των διδακτικών μεθόδων στα επιμέρους κράτη. Εδώ αναλαμβάνει ο διαγωνισμός PISA να παίξει το ρόλο του Δούρειου Ίππου που θα αλώσει τα κάστρα των εθνικών επιλογών. Έτσι αποκάλεσε τον  PISA, εκκινώντας από συντηρητική ωστόσο σκοπιά,  ο καθηγητής Fred Naylor (Εκπ. Συμβούλιο Μεγ. Βρετανίας)[1], παρατηρώντας ότι οι ίδιες οι χώρες τού ανοίγουν τις πόρτες  συμμετέχοντας σ’ αυτόν, τη στιγμή που στόχος του είναι να αλώσει τα εκπαιδευτικά τους συστήματα, εντάσσοντάς τα σε ένα διεθνές πρότυπο, που εξυπηρετεί τις «ανάγκες της παγκοσμιοποίησης».

«Το Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο …, λαμβάνοντας υπόψη ότι η μεγάλη διαφορά μεταξύ της απόδοσης των εκπαιδευτικών συστημάτων στην Ένωση, όπως σκιαγραφείται στην έκθεση “Pisa 2003” που δημοσιεύτηκε από τον ΟΟΣΑ, είναι ανησυχητική … καλεί τα κράτη μέλη να εφαρμόσουν το πρόγραμμα εργασίας “Εκπαίδευση και Κατάρτιση 2010” διασφαλίζοντας τη συμμετοχή όλων των ενδιαφερόμενων παραγόντων…»[2]. Το πιο πάνω απόσπασμα από απόφαση του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου, οι συχνές αναφορές στον διαγωνισμό PISA στα προγράμματα των μεγάλων κομμάτων,  η μεγάλη προβολή από τα ΜΜΕ των αρνητικών αποτελεσμάτων της χώρας μας στον διαγωνισμό και η αξιοποίηση των πρωτιών της Φινλανδίας σ’ αυτόν για να τονιστεί η επιτυχία του Φινλανδικού εκπαιδευτικού μοντέλου, δείχνουν τη σημασία που έχει ο PISA για τις εκπαιδευτικές επιλογές στην υποχρεωτική εκπαίδευση. Όλες οι χώρες προσαρμόζουν το περιεχόμενο της εκπαίδευσης και τις επίσημες διδακτικές μεθόδους στο νέο πνεύμα που κυριαρχείται από το δόγμα: «Μαθηματικά της καθημερινής ζωής».

 

Ένα ιστορικό προηγούμενο

Οι πρώτες μεγάλες αλλαγές στη μαθηματική εκπαίδευση της Δύσης συνέβησαν προς το τέλος της δεκαετίας του 1950 και στις αρχές της επόμενης. Ήδη από τον Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο οι στρατιωτικοί είχαν διαπιστώσει την αδυναμία των στρατιωτών στα Μαθηματικά[3]. Η επιτυχής αποστολή του πρώτου πυραύλου από την ΕΣΣΔ δημιούργησε πανικό στους Αμερικανούς και  στους Ευρωπαίους και από τις επιτροπές που συγκροτήθηκαν, στις οποίες πρωταγωνιστικό ρόλο έπαιξε ο Oργανισμός για την Ευρωπαϊκή Oικονομική Συνεργασία (ΟΕEC), δηλαδή ο  πρόδρομος του  ΟΟΣΑ (OECD), προέκυψε η μεγάλη αλλαγή στη διδακτέα σχολική ύλη, η οποία επικεντρώθηκε στα «μοντέρνα» μαθηματικά. Οι συνέπειες ήταν καταστροφικές και άρχισε η επιστροφή στην παραδοσιακή σχολική ύλη και η έμφαση στην έρευνα της διδακτικής των Μαθηματικών. Άφησε όμως μερικές αλλαγές, κυριότερη από τις οποίες ήταν ο περιορισμός της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και γενικότερα η διδασκαλία «χρήσιμων» τομέων των Μαθηματικών σε βάρος των άλλων. Ακόμη, δημιούργησε την παράδοση ενός νέου τύπου παραγωγικής προσέγγισης των μαθηματικών εννοιών, ενώ η ανάγκη να χωρέσουν στη διδακτέα ύλη όλα περιόρισε τις μαθηματικές αποδείξεις αντικαθιστώντας τες με τις «ευρετικές» και «διαισθητικές» δικαιολογήσεις.

 

 

Πίσω από το προοδευτικό προσωπείο

Καμπή στην εκπαιδευτική πολιτική του ΟΟΣΑ θεωρείται στη δεκαετία του 1970 η αλλαγή από την εκπαιδευτική προτεραιότητα της «ισότητας στις ευκαιρίες» στην «ισότητα στο αποτέλεσμα». Θα έλεγε κανείς ότι κάτι τέτοιο συνιστά ριζοσπαστικό δημοκρατικό εκσυγχρονισμό. Πρόκειται ωστόσο για χυδαία διαστρέβλωση αυτής της προοδευτικής θέσης. Ενώ η ισότητα στις ευκαιρίες αναφέρεται στους μαθητές, η ισότητα στο αποτέλεσμα αναφέρεται στα κράτη! Υποτίθεται ότι η κατεύθυνση αυτή επιδιώκει την αναβάθμιση των εκπαιδευτικών συστημάτων που μειονεκτούν. Στην πραγματικότητα ο διαγωνισμός ελέγχει τον βαθμό προσαρμογής των κρατών στους συγκεκριμένους εκπαιδευτικούς στόχους που θέτει ο ΟΟΣΑ. Αξιοποιεί μία εκτεταμένη έρευνα που εμφανίζεται ως επιστημονική και παιδαγωγική με δύο στόχους:

  1. Να προτείνει αντιδραστικές διαρθρώσεις των εκπαιδευτικών συστημάτων
  2. Να πιέσει τις χώρες για αλλαγή του ίδιου του περιεχομένου της εκπαίδευσης που παρέχουν.

Σε σχέση με το πρώτο, βλέπουμε π.χ. τους Κουλαϊδή (μετέπειτα ΓΓ του Υπουργείου Παιδείας στην κυβέρνηση Γ. Παπανδρέου), Παπαδάκη, Δημόπουλο  σε δημοσίευσή τους[4] να διαχωρίζουν τους «ιδεότυπους» των εκπαιδευτικών συστημάτων ως εξής:

 

 

 

Ιδεότυπος Α Ιδεότυπος Β
Ακαδημαϊκός προσανατολισμός Πιέσεις από την οικονομία
Επιστημική  συγκρότηση Κοινωνική-εργασιακή εμπειρία
Παραδοσιακές παιδαγωγικές Νεωτερικές παιδαγωγικές
Ισχυρές ιεραρχήσεις ατόμων-αντικειμένων-προγραμμάτων Χαλαρές ιεραρχήσεις ατόμων-αντικειμένων-προγραμμάτων
Τυπικά προσόντα-Καταμερισμοί εργασίας Καταμερισμοί-Απαίτηση τυπικών προσόντων

Στη συνέχεια αποφασίζουν ότι «η διαφορά ανάμεσα στον ιδεότυπο Α και στον ιδεότυπο Β αντιστοιχεί σε γενικές γραμμές στη διάκριση ανάμεσα στις παιδαγωγικές πρακτικές που ανήκουν στο συντηρητικό εσωτερικό και σε αυτές που ανήκουν στο προοδευτικό δημόσιο πεδίο. Από την περιγραφή της δομής και του περιεχομένου του προγράμματος PISA που προηγήθηκε … φαίνεται ότι αυτό, στο βαθμό που υιοθετείται ως μοντέλο προς το οποίο θα πρέπει να κατατείνουν τα εκπαιδευτικά συστήματα ωθεί προς τον ιδεότυπο Β του παραπάνω πίνακα».

Με βάση αυτή την κατάταξη συμπεραίνουν ότι προοδευτικά μέτρα για τη βελτίωση της εκπαίδευσης είναι:

  • Η αποκέντρωση
  • Η κοινωνική λογοδοσία και
  • Η ανάθεση της εποπτείας λειτουργίας του συστήματος σε κοινωνικούς εταίρους, οι οποίοι εκπροσωπούν συγκεκριμένες ομάδες συμφερόντων που δραστηριοποιούνται εντός του».

 

Σε σχέση με το δεύτερο, την πίεση δηλαδή για αλλαγή του περιεχομένου της εκπαίδευσης, ένα πρώτο δείγμα των εγκληματικών συνεπειών της προσπάθειας προσαρμογής του μαθήματος των Μαθηματικών στις αρχές του PISA είναι τα σημερινά βιβλία Μαθηματικών Δημοτικού και Γυμνασίου που εκδόθηκαν το 2006 και έχουν, ιδίως του Δημοτικού και περισσότερο της Β΄ και Ε΄ τάξης, καταδικαστεί στη συνείδηση των εκπαιδευτικών μας.

 

Η παγίδα

Για να είμαστε δίκαιοι, πάρα πολλά από τα θέματα του διαγωνισμού είναι όμορφα. Δεν υπάρχει κανείς που δε θα χαιρόταν αν οι μαθητές μας μπορούσαν να τα απαντήσουν σωστά. Πολλά από τα θέματα αξίζει να αξιοποιηθούν στη διδασκαλία μας.  Δεν θα μπορούσε επίσης κάποιος εύκολα να απορρίψει ολοκληρωτικά το μοντέλο των «ρεαλιστικών Μαθηματικών»:  Realistic Mathematics Education (RME) που εμπνεύστηκε ο Freudenthal και αποτελεί το κύριο θεωρητικό οπλοστάσιο του PISA όσον αφορά τα Μαθηματικά. Πρέπει όμως να κάνουμε κάποιες σημαντικές επισημάνσεις:

  1. Το RME είναι ένα πρόγραμμα που βρίσκεται ακόμη σε εξέλιξη. Είναι ένα πλήρες σύστημα διδασκαλίας των Μαθηματικών που αξιοποιεί ρεαλιστικά προβλήματα ως αφετηρία για τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών και μεθόδων. Θα ξεφεύγαμε από το θέμα αν παρουσιάζαμε διεξοδικά και κριτικάραμε το μοντέλο RME. Εκείνο που αρκεί να τονίσουμε είναι ότι τα ρεαλιστικά προβλήματα αποτελούν ένα εξαιρετικό μέσο για τη διδασκαλία, αλλά όχι το σχεδόν μοναδικό τελευταίο της βήμα που είναι η αξιολόγηση.
  2. Κάθε τεστ αξιολογεί συγκεκριμένους στόχους. Αν οι στόχοι μιας εξέτασης είναι διαφορετικοί από τους στόχους ενός αναλυτικού προγράμματος και της αντίστοιχης διδασκαλίας, το τεστ δεν είναι αξιόπιστο. Οι Ολλανδοί που ακολουθούν το μοντέλο RME έχουν αποχωρήσει από τον διαγωνισμό TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) που επίσης αξιολογεί τις επιδόσεις των μαθητών στα Μαθηματικά, θεωρώντας ότι η επίδοση των Ολλανδών μαθητών δεν μπορεί να αξιολογηθεί από αυτόν τον διαγωνισμό: «Το πρόβλημα με τα αποτελέσματα TIMSS είναι ότι το τεστ δεν ταιριάζει με την προσέγγισή μας στην εκπαίδευση των μαθηματικών ούτε με το περιεχόμενο του προγράμματος σπουδών μας» γράφει η Marja van den Heuvel-Panhuizen[5]
  3. Γενικότερα υπάρχουν αντιδράσεις σε σχέση με το κατά πόσον ένας διαγωνισμός μπορεί να αξιολογήσει και να κατατάξει τα εκπαιδευτικά συστήματα διαφορετικών χωρών.
  4. Ένα εκπαιδευτικό σύστημα δεν μπορεί να περιέχει τα πάντα. Κάτι κοστίζει η αποκλειστική έμφαση σε ένα μοντέλο αναλυτικού προγράμματος και διδασκαλίας. Το πιο τρανταχτό παράδειγμα είναι η Φινλανδία που κατείχε για χρόνια την πρώτη θέση στα αποτελέσματα του PISA στα Μαθηματικά. Αξίζει εν προκειμένω να παρουσιάσουμε ολόκληρη την επιστολή 206 καθηγητών Πολυτεχνικών Σχολών της Φινλανδίας λίγα χρόνια μετά τη θριαμβική της ανακήρυξη ως πρωταθλήτριας του PISA[6]:

Τα αποτελέσματα της έρευνας PISA (http: //www.pisa.oecd.org) έχουν προκαλέσει ικανοποίηση και υπερηφάνεια στη Φιλανδία. Οι εφημερίδες και τα μέσα μαζικής ενημέρωσης έχουν διαφημίσει το γεγονός ότι όσοι τελειώνουν το Φιλανδικό υποχρεωτικό σχολείο (δημοτικό και γυμνάσιο) είναι ειδικοί στα  Μαθηματικά.

Όμως, οι καθηγητές Μαθηματικών στα Πανεπιστήμια και στα ΤΕΙ ανησυχούν,  καθώς στην πραγματικότητα οι μαθηματικές γνώσεις των νέων φοιτητών έχουν αποκλίνει δραματικά. Ως παράδειγμα που ενισχύει αυτή την άποψη μπορεί να θεωρηθεί η εκτεταμένη έρευνα  TIMSS 1999, στην οποία οι Φιλανδοί φοιτητές βρίσκονταν κάτω του μετρίου στη Γεωμετρία και στην Άλγεβρα. Ως άλλο παράδειγμα, για να μην αποτύχει μεγάλος αριθμός φοιτητών στις εξετάσεις εισαγωγής στα πανεπιστήμια, η επιτροπή πιέστηκε να κατεβάσει τη βάση στα Μαθηματικά σε ανησυχητικό βαθμό. Μερικές χρονιές, 6 στα 60 μόρια επαρκούσαν για να περάσει κάποιος.

Αυτή η αντίφαση μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι η έρευνα PISA μέτρησε μόνο τη γνώση των «καθημερινών» Μαθηματικών, κάτι που θα μπορούσε να ονομαστεί «μαθηματικός αλφαβητισμός» (και έτσι ονομάζεται στην Αγγλική έκδοση της αναφοράς της έρευνας), ενώ το είδος των Μαθηματικών που χρειάζεται στο γενικό ή στο επαγγελματικό λύκειο δεν αποτελούσε μέρος της έρευνας. Αναμφίβολα, οι καθημερινές μαθηματικές δεξιότητες είναι πολύτιμες, αλλά σε καμιά περίπτωση δεν είναι αρκετές.

Από τα 85 θέματα της έρευνας έχουν εκδοθεί περίπου 20. Τα θέματα είναι απλοί αριθμητικοί υπολογισμοί, απλά προβλήματα ή συνεπαγωγές, ερμηνεία στατιστικών γραφικών παραστάσεων και αξιολόγηση καταστάσεων στις οποίες η κατανόηση κειμένου αποτελεί βασικό μέρος. Περιλαμβάνεται ελάχιστη άλγεβρα ή γεωμετρία. Όμως, τα θέματα συμφωνούν απόλυτα με τους σκοπούς της έρευνας: στην πραγματικότητα, η έρευνα  αφορούσε τη μελέτη της καθημερινής μαθηματικής γνώσης.

Η έρευνα PISA μας αφήνει έτσι με αναπάντητα ερωτήματα που αφορούν πολλές δεξιότητες, όπως υπολογισμούς με κλάσματα, επίλυση βασικών εξισώσεων, υπολογισμούς όγκων στερεών αντικειμένων και χειρισμό αλγεβρικών παραστάσεων.  Όμως, η άλγεβρα είναι ίσως το πιο σημαντικό υπο – θέμα στις μαθηματικές σπουδές μετά το υποχρεωτικό ενιαίο σχολείο.

 

Στο γυμνάσιο, ο στόχος θα έπρεπε να είναι η εκμάθηση των βασικών εννοιών των Μαθηματικών, έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση για τη συνέχεια. Ακόμη, η χρήση των υπολογιστών χειρός δεν αλλάζει την κατάσταση: αν και οι υπολογιστές αυτοί σήμερα μπορούν να χειρίζονται κλάσματα, είναι βασική η εκμάθηση υπολογισμών με το χέρι, αφού αυτοί αποτελούν τη βάση του χειρισμού αλγεβρικών παραστάσεων. Η περαιτέρω μελέτη είναι αδύνατη αν δεν έχουν μαθευτεί σωστά οι βάσεις.

Ένας λόγος για την αύξηση των χαμηλών επιδόσεων στις εξετάσεις εισαγωγής στο πανεπιστήμιο και στην αρχή των πανεπιστημιακών σπουδών είναι αναμφίβολα οι αδύναμες βάσεις που έχουν ληφθεί στο γυμνάσιο. Νέες, πιο δύσκολες έννοιες είναι δύσκολο να μαθευτούν, γιατί ακόμη στις τελευταίες τάξεις του λυκείου δαπανάται πολλή ενέργεια για την επανάληψη εννοιών που θα έπρεπε να έχουν μαθευτεί στο γυμνάσιο. Ο φαύλος κύκλος συνεχίζεται στην τριτοβάθμια εκπαίδευση: οι έννοιες της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δεν έχουν μαθευτεί όπως πρέπει, και η περαιτέρω μάθηση γίνεται πιο δύσκολη.  Η έρευνα PISA μας παρέχει χρήσιμες πληροφορίες που αφορούν τον μαθηματικό αλφαβητισμό που χρειάζεται στην καθημερινή ζωή και την ικανότητα επίλυσης απλών προβλημάτων. Αυτές, όμως, οι δεξιότητες απλώς δεν επαρκούν σε έναν κόσμο που χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά όλο και περισσότερο.

Χρειάζεται η κατάλληλη μαθηματική βάση, ειδικά στους τεχνικούς και επιστημονικούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της βιολογίας. Η έρευνα PISA λέει λίγα σχετικά μ’ αυτή τη βάση που θα έπρεπε να έχει ήδη δημιουργηθεί στο γυμνάσιο. Έτσι, είναι απόλυτα απαραίτητο στο μέλλον η Φιλανδία να συμμετέχει σε διεθνείς έρευνες που θα αξιολογούν τις μαθηματικές δεξιότητες που είναι απαραίτητες για περαιτέρω σπουδές.

 

Τα Μαθηματικά της καθημερινής ζωής

Διαβάζουμε στο Take the Test sample Questions from OE CD’s PISA Assessments[7]: «Οι μαθηματικές ερωτήσεις στον PISA στοχεύουν στην εκτίμηση της ικανότητας των μαθητών να αντλούν από τα μαθηματικά τους ικανότητες για την αντιμετώπιση των προκλήσεων της τρέχουσας και της μελλοντικής τους καθημερινής ζωής. Οι πολίτες πρέπει να χρησιμοποιούν τα Μαθηματικά σε πολλές καθημερινές καταστάσεις, όπως κατά τη διαβούλευση με μέσα ενημέρωσης που παρουσιάζουν πληροφορίες για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων με τη μορφή πινάκων, διαγραμμάτων και γραφημάτων, κατά την ανάγνωση των χρονοδιαγραμμάτων, κατά τη διενέργεια χρηματικών συναλλαγών και κατά τον προσδιορισμό της καλύτερης αγοράς. Για να συλλάβει αυτή την ευρεία αντίληψη ο PISA χρησιμοποιεί την έννοια του μαθηματικού γραμματισμού που ασχολείται με την ικανότητα των μαθητών να αναλύουν, να δικαιολογούν και να λειτουργούν αποτελεσματικά καθώς θέτουν, λύνουν και ερμηνεύουν τα μαθηματικά προβλήματα σε διάφορες καταστάσεις, όπως ποσοτικών, χωρικών, πιθανοτικών ή άλλων μαθηματικών εννοιών. Τα μαθηματικά ορίζονται σε σχέση με τρεις διαστάσεις: το περιεχόμενο, τις μαθηματικές διεργασίες και τις καταστάσεις. Η πρώτη διάσταση, το περιεχόμενο των μαθηματικών, ορίζεται κυρίως από την άποψη  των «γενικών ιδεών» και μόνο δευτερευόντως σε σχέση με τις πτυχές των προγραμμάτων σπουδών. Σκέλη όπως αριθμοί, άλγεβρα και γεωμετρία χρησιμοποιούνται συνήθως στα προγράμματα σπουδών. Οι γενικές ιδέες που χρησιμοποιούνται στον PISA αντανακλούν τον προσανατολισμό προς τις καταστάσεις της πραγματικής ζωής.

Αυτό συμβαδίζει με τη σύγχρονη άποψη των Μαθηματικών ως επιστήμης των προτύπων με μια γενική έννοια».

Είναι ο τελευταίος αυτός αφορισμός που αποκαλύπτει το βαθύτερο ιδεολογικό στίγμα του PISA: Ο μονοδιάστατος ορισμός των Μαθηματικών ως επιστήμης των μοντέλων.

Τι δεν εξετάζει ο PISA

Για να γίνουμε πιο πρακτικοί: Όπως κατέγραψε ο Γιώργος Ρίζος[8]:

  • Το 31% των θεμάτων αφορά θέματα Στατιστικής και Πιθανοτήτων, όπου ζητείται κυρίως ανάγνωση πινάκων, διαγραμμάτων, αλλά περιέχονται και προχωρημένες ερωτήσεις κατανόησης.
  • Το 22% αφορά θέματα Γεωμετρίας. Μη φανταστείτε ασκήσεις που σχετίζονται με τη δική μας Ευκλείδεια Γεωμετρία. Η συντριπτική τους πλειοψηφία μοιάζει με ερωτήσεις χωροαντιληπτικής ικανότητας.
  • Το 25% αφορά προβλήματα που αφορούν μετρήσεις, πράξεις αριθμητικής και ανάγνωσης πινάκων.
  • Το 8% αφορά θέματα συναρτήσεων. Κυρίως ασχολούνται με την κατανόηση γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων.
  • Το 6% αφορά προβλήματα με μονάδες χρόνου, νομισματικές μονάδες. Υπάρχουν ακόμα ελάχιστα προβλήματα αναλογιών, κλιμάκων κ.λπ. Κάποια περιέχουν έννοιες από διαφορετικές ενότητες.

Όλα (σχεδόν) τα θέματα του PISA αφορούν «πραγματικές καταστάσεις» ή έστω περιέχουν σενάρια στις εκφωνήσεις τους.

 

 

Δεν βρήκαμε θέματα (ή βρήκαμε ελάχιστα ίχνη…) που να αφορούν:

  • Πράξεις μεταξύ ακεραίων, δεκαδικών, κλασμάτων (οι ελάχιστες εξαιρέσεις περιέχουν πράξεις επιπέδου Δ’ Δημοτικού).
  • Δυνάμεις, ιδιότητες δυνάμεων, ταυτότητες, παραγοντοποιήσεις.
  • Επίλυση εξισώσεων 1ου, 2ου βαθμού, κλασματικών, επίλυση συστημάτων.
  • Υπολογισμό εμβαδών ορθογωνίων ή τριγώνων ή κυκλικών δίσκων, όγκων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων,
  • Είδη, σύγκριση γωνιών, άθροισμα γωνιών τριγώνου κ.α.
  • Ισότητα, ομοιότητα τριγώνων.
  • Πυθαγόρειο Θεώρημα, Θεώρημα Θαλή.
  • Ούτε ίχνος τριγωνομετρίας κ.α.

 

Το πρόβλημα για το πρόβλημα

Αρχικά πρέπει να τονίσουμε ότι τα προβλήματα  ήταν πολύ συνηθισμένα στο ελληνικό σχολείο πριν από το 1965. Προβλήματα ακρότατων τιμών, και μάλιστα χωρίς παραγώγους, υπήρχαν συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ενώ τα προβλήματα του Δημοτικού  Σχολείου έχουν κάνει πολλές ελληνικές οικογένειες να ξενυχτήσουν. Η υποχώρηση που παρουσιάστηκε μετά το 1965 οφείλεται στο ρεύμα της διδασκαλίας στοιχείων των ανώτερων Μαθηματικών που, όπως είδαμε και στην αρχή του άρθρου, επικράτησε σταδιακά σε όλο τον κόσμο μετά το 1960 με καταστροφικά για τη μαθηματική εκπαίδευση αποτελέσματα[9]. Η νέα στροφή προς τα προβλήματα, με έμφαση όμως τώρα στα πιο «πραγματικά» προβλήματα, αρχίζει να διαφαίνεται με τα βιβλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου του 1993, εντείνεται με την εισαγωγή του κεφαλαίου του Ρυθμού Μεταβολής στο βιβλίο της Ανάλυσης της Α΄ Δέσμης, αλλά δε μεταφέρεται στις σχολικές τάξεις, καθώς οι εξετάσεις για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση που καθορίζουν εν Ελλάδι τους πραγματικούς διδακτικούς στόχους πολύ δειλά εξετάζουν τέτοιου είδους προβλήματα. Για πρώτη φορά το 1992 προστίθεται στο σχολικό εγχειρίδιο της 1ης Δέσμης η ενότητα «Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής». Οι μαθηματικοί, κυρίως οι φροντιστές, καγχάζουν, οι περισσότεροι δε διδάσκουν την ενότητα αυτή ή τη διδάσκουν τελείως περιληπτικά, καθώς τη θεωρούν «ένα ακόμη από τα γραφικά είδη προβλημάτων που υπάρχουν στο βιβλίο έτσι για να υπάρχουν»[10]. Όμως στις Γενικές εξετάσεις του 1993 ένα ερώτημα αφορά πρόβλημα πάνω στο ρυθμό μεταβολής, ενώ για πρώτη φορά και στις εξετάσεις της 4ης Δέσμης δίνεται πρόβλημα ακρότατων τιμών συνάρτησης που παριστάνει το κέρδος μιας επιχείρησης. Το φαινόμενο ήταν μάλλον περιστασιακό, αφού μόνο το 1995 στην 4η Δέσμη επαναλαμβάνεται, ενώ το 1998, καθώς με τη μεταρρύθμιση Αρσένη φαίνεται να παίρνει υπόσταση η στροφή προς τα «πραγματικά προβλήματα» στις προτελευταίες Γενικές Εξετάσεις και στις δύο Δέσμες (1η-4η) υπάρχουν τέτοια προβλήματα. Με τα βιβλία Κατεύθυνσης Β΄ και Γ΄Λυκείου, αλλά κυρίως με τα θέματα των πρώτων ετών των Πανελλαδικών Εξετάσεων φαίνεται το πρόβλημα κατακτά σημαντική θέση στην εκπαίδευση, αλλά μόνο στις Πανελλαδικές της Β΄ Λυκείου του 1999 είχαμε τόσα πολλά προβλήματα με «κορυφαίο» τα 1999 μυρμήγκια που κινούνται σε κύκλο με εξίσωση   που σκόρπισε θυμηδία.

Γενικά, το άγχος για την κάλυψη της ύλης δε δίνει πολλά περιθώρια στους καθηγητές μαθηματικών να διδάξουν προβλήματα, ούτε καν προβλήματα στις εξισώσεις και τα συστήματα, οι δε μαθητές φοβούνται τα προβλήματα γιατί εμπεριέχουν το απροσδόκητο, το μη σταθερό τρόπο επίλυσης. Αυτή την τάση των μαθητών να προτιμούν τη σιγουριά της μεθοδολογίας και τις μεγάλες δυσκολίες τους στα προβλήματα υποτίθεται ότι «θεραπεύει» η προσαρμογή στους στόχους του PISA. Όπως είπαμε, τα νέα βιβλία Μαθηματικών του Δημοτικού και του Γυμνασίου υπηρετούν τη στροφή αυτή. Όμως στην πραγματικότητα παρουσιάζουν τρόπους επίλυσης προβλημάτων που καθοδηγούν τους μαθητές σε μηχανικές εκτελέσεις ενεργειών, μόνο που πια αυτές δεν είναι πια μαθηματικά!

Ανέκαθεν ο ρόλος του προβλήματος στα μαθηματικά ήταν πρωτεύων. Πραγματικά προβλήματα οδήγησαν στις μαθηματικές ανακαλύψεις και πραγματικά προβλήματα επιλύονται με την πρόοδο της μαθηματικής επιστήμης. Είναι γεγονός ότι ο καθαρός ιδεαλισμός παλιότερων εποχών είχε επιβάλει τη διδασκαλία των Μαθηματικών για τα Μαθηματικά. Τώρα, με τις νέες απαιτήσεις του παγκόσμιου κεφαλαίου η θετικιστική αντίληψη οδηγεί στη διδασκαλία του προβλήματος για το πρόβλημα. Βλέπουμε να υπερτονίζονται οι «εναλλακτικοί» τρόποι επίλυσης διάφορων προβλημάτων. Στη Β΄ Δημοτικού δίνεται σαν δραστηριότητα το πρόβλημα του σχήματος:

Δε μας ενδιαφέρει η δυσκολία του προβλήματος, αλλά η προπόνηση των μαθητών να επιλύουν προβλήματα χωρίς καθόλου να στηρίζουν τη λύση τους στα μαθηματικά. Καθώς είναι αδύνατο στην τάξη αυτή να γίνει με άλλον τρόπο ο υπολογισμός, ο μαθητής προπονείται[11] να επινοεί τεχνικές όπως η κύκλωση των τριάδων –που σημειωτέον δε βοηθιέται καθόλου από την εικόνα- όχι ως ένα δεύτερο ευκολότερο τρόπο από την αναγωγή στη μονάδα, αλλά σαν μοναδικό τρόπο επίλυσης. Έτσι, παρά το ότι υποτίθεται ότι ο μαθητής θα εκτελέσει τελικά τον πολλαπλασιασμό 11∙4=44 καθοδηγείται να μη σκέφτεται αλλά να εφαρμόζει τεχνάσματα. Για του λόγου το αληθές, έχουμε τη σπάνια για τις συνήθειες των νέων βιβλίων επανάληψη ενός ακριβώς ίδιου προβλήματος. Καμιά επαναληπτική διαδικασία, τάχα για να μη μαθαίνει μηχανικά ο μαθητής, στις πράξεις, αλλά επανάληψη, που επανέρχεται μάλιστα πολλές φορές, στο κολπάκι της κύκλωσης ομάδων αντικειμένων.

Αν δούμε τώρα τις κοινωνικές παραμέτρους της επιλογής «το πρόβλημα για το πρόβλημα» θα διαπιστώσουμε ότι στόχος της είναι η δημιουργία του επιδέξιου – αλλά μη σκεπτόμενου, ευέλικτου – αλλά όχι βαθύ, εκτελεστή – αλλά όχι σχεδιαστή, υποταγμένου στις απόλυτες αλήθειες του συστήματος αυριανού εργαζόμενου. Από την άλλη, ό,τι δεν δίνει το σχολείο αλλά το απαιτεί η αγορά εργασίας θα προσφέρεται από τα ιδιωτικά ιδρύματα εκπαίδευσης – κατάρτισης σε ένα διά βίου αγωνιώδες κυνηγητό επιβίωσης.

Τέλος, η απομάκρυνση των όποιων ευκαιριών για μόρφωση και ουσιαστική γνώση από το πεδίο των πολλών θα οξύνει τις κοινωνικές ανισότητες στο σχολείο.

 

Το πρόβλημα ως μέσο διδασκαλίας

Μια ιδέα για το πώς μπορεί το πρόβλημα να αξιοποιηθεί ως μέσο διδασκαλίας και όχι ως αυτοσκοπός, μπορούμε να πάρουμε από τη δουλειά  με μια τάξη Β΄ Γυμνασίου: πήγαμε σε κοντινό σημείο όπου είδαμε  την τέντα του σχήματος. Μετρήσαμε τις προσιτές διαστάσεις που βλέπουμε στο σχήμα και προσπαθήσαμε να εκτιμήσουμε το μήκος της τέντας για να βρεθεί έπειτα το εμβαδόν της. Οι μαθητές έκαναν διάφορες εκτιμήσεις τις οποίες καταγράψαμε. Στη συνέχεια, στην τάξη απεικονίσαμε το σχήμα σε κλίμακα 1:10 για να ελέγξουμε με το υποδεκάμετρο αν μαντέψαμε τη σωστή τιμή. Βρίσκοντας αποτέλεσμα 5 cm που είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 3 και 4 cm οι μαθητές ρωτήθηκαν αν μπορούν να μαντέψουν κάποιον συνδυασμό πράξεων, έναν τύπο με τη βοήθεια του οποίου να βρίσκεται το αποτέλεσμα αυτό. Κανείς δεν το κατάφερε. Η σχέση 32+42=52 του Πυθαγόρειου θεωρήματος δεν είναι εύκολο να επινοηθεί. Δοκιμάσαμε πρωτοβάθμιες σχέσεις και όλες απέτυχαν. Κάποιος μαθητής πέταξε την ιδέα η ζητούμενη σχέση να είναι δευτεροβάθμια. Όταν με κάποιες μικρές υποδείξεις, υπολογίσαμε ότι 32=9, 42=16, 52=25 και παρατηρήσαμε ότι 9+16=25 επικράτησε μεγάλος ενθουσιασμός. Με πολύ χαρά δούλεψαν στο σπίτι σχεδιάζοντας διάφορα ορθογώνια τρίγωνα, μετρώντας τις πλευρές και επαληθεύοντας ότι το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.  Αν και εκτός ύλης, παρουσιάστηκαν στους μαθητές κάποιες αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος, παρά τα κενά που μοιραία είχαν οι αποδείξεις αυτές λόγω έλλειψης αναγκαίων γνώσεων.

Οι  μαθητές αντιλήφθηκαν ότι:

·         το θεώρημα ανακαλύφθηκε από την πραγματική ανάγκη μέτρησης μιας απρόσιτης απόστασης,

·         αρχικά δεν αποδείχτηκε, αλλά όσο «δούλευε» έγινε αποδεκτό,

·         η αναγόρευσή του σε «νόμο» δεν μπορούσε να γίνει προτού αποδειχτεί με γενικό τρόπο και

·         η απόδειξή του προϋπέθετε αποδείξεις άλλων προτάσεων.

Με τον τρόπο αυτό ακολουθείται συνοπτικά η ιστορική εξέλιξη και οι μαθηματικές προτάσεις παύουν να είναι ουρανοκατέβατες «αποκαλύψεις».

 

Η αξιοπιστία του PISA

«… Στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας αποδεχόμεθα την αλήθεια των αποτελεσμάτων αυτών, αναγνωρίζουμε ότι το εκπαιδευτικό μας σύστημα έχει αδυναμίες, οι οποίες πρέπει να θεραπευθούν, αλλά εκτιμούμε ότι τα αποτελέσματα αυτά δεν αποδίδουν την αντικειμενική εικόνα του εκπαιδευτικού μας συστήματος. Θεωρούμε ότι η στοχοθέτηση των αναλυτικών προγραμμάτων μας σπουδών διαφέρει από τη στοχοθέτηση των αναλυτικών προγραμμάτων σπουδών των διακριθεισών χωρών και αυτό είναι βασική αιτία που οι επιδόσεις των μαθητών μας δεν ανταποκρίθηκαν στις απαιτήσεις του PISA»[12].

Από το πιο πάνω κείμενο προκύπτουν δύο στοιχεία:

  1. Αποδοχή της αξιοπιστίας του διαγωνισμού
  2. Παραδοχή της ανάγκης για αλλαγή των στόχων του εκπαιδευτικού συστήματος.

 

Όσον αφορά το δεύτερο, τεκμηριώνει τον χαρακτηρισμό του PISA ως Δούρειου Ίππου του εκπαιδευτικού μας συστήματος. Μπάζουμε μόνοι μας εντός των τειχών τον εχθρό. Μόνο που, αφού και η «αριστερή» κυβέρνηση ΣΥΡΙΖΑΝΕΛ έχει δεσμευτεί να συμμορφωθεί με τις προτάσεις του ΟΟΣΑ, τον έχουμε βαφτίσει φίλο. Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι, όπως έγινε και με τα σχολικά βιβλία και τις σχετικές επιμορφώσεις – παρωδία, θα πρόκειται για κακέκτυπα που και τους στόχους του εκπαιδευτικού συστήματος θα αλλάξουν επί  τα χείρω και δεν θα πετύχουν το επιδιωκόμενο έστω αποτέλεσμα.

Ιδού και το τεκμήριο:

Οι μαθητές που εξετάστηκαν στον PISA το 2006[13] είχαν διδαχτεί με το παλιό αναλυτικό πρόγραμμα που βρισκόταν σε απόλυτη αντίθεση προς το πνεύμα του PISA και πέτυχαν σκορ στα Μαθηματικά 459, 39 μονάδες κάτω από τον Μ.Ο. των διαγωνιζομένων που ήταν 498. Οι αντίστοιχοι μαθητές στο διαγωνισμό του 2015 είχαν διδαχτεί με τα νέα, πολύ συμβατότερα προς τον διαγωνισμό αναλυτικά προγράμματα και βιβλία και πέτυχαν σκορ 454 μονάδες, 36 μονάδες χαμηλότερα από το Μ.Ο. που ήταν 490. Κανείς ωστόσο από τους «έγκυρους» επίσημους αναλυτές δεν  επεσήμανε ότι η σημαντική αλλαγή που έχει ήδη επιτελεστεί με τα νέα αναλυτικά προγράμματα και βιβλία δεν βελτίωσε τη θέση της χώρας στις κατατάξεις του διαγωνισμού.

Τι καθιστά όμως τον διαγωνισμό έγκυρο και τα αποτελέσματά του αξιόπιστα;

Αντιγράφουμε από άρθρο του μαθηματικού Γιώργου Ρίζου[14] που έχει ασχοληθεί όσοι λίγοι με τον διαγωνισμό PISA:

«Ο διαγωνισμός PISA καλύπτεται από ένα πέπλο μυστηρίου, τουλάχιστον στη χώρα μας. Σίγουρα δεν είναι μία απλή στατιστική διαγνωστική έρευνα του ΟΟΣΑ. Το περιεχόμενο και τα ουσιαστικά του αποτελέσματα φαίνεται να αφορούν και να απευθύνονται μόνο σε κάποιους “ειδικούς”, διαμορφωτές της εκπαιδευτικής πολιτικής και των Προγραμμάτων Σπουδών. Γι’ αυτό και δεν δημοσιοποιούνται στοιχεία που αφορούν την όλη διοργάνωση του διαγωνισμού (στοι­χεία διοργάνωσης, θέματα, ανάλυση αποτελεσμάτων, κ.α.), ούτε δημοσιοποιούνται από την τοπική επιτροπή τα συμπεράσματά του αναλυτικά. Ούτε, εξάλλου, γίνεται ουσιαστική σύγκριση με τα δεδομένα άλλων διαγωνισμών (π.χ. TIMSS 1995) ή ερευνών σε εθνικό επίπεδο. Έτσι, για μια ακόμα φορά η υπόθεση της ανανέωσης, βελτίωσης, λειτουργίας των Προγραμμάτων Σπουδών γίνεται υπόθεση λίγων “εκλεκτών”, μακριά από τα φώ­τα της δημοσιότητας, της παρέμβασης των ζωντανών κυττάρων της εκπαίδευσης.

Μεταφέρεται, όμως, μέσω των ΜΜΕ, ο απόηχος για το “χαμηλό επίπεδο των μαθητών”, για την της “ανεπαρκή εκπαίδευση που προσφέρουν τα σχολεία μας” κ.α., προετοιμάζοντας το έδαφος στη συνείδηση της κοινής γνώμης για “ριζικές αλλαγές στην εκπαίδευση”, χωρίς όμως να ερευνάται αν η νέα πορεία, που προτείνεται να ακολουθήσει η παιδεία μας, είναι σωστότερη.

Για να καταλήξει κάποιος σε σωστή κρίση και να διαμορφώσει άποψη για την πορεία της εκπαίδευσης, πρέπει να έχει πρόσβαση σε όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία. Αυτά τα στοιχεία, οι υπεύθυνοι του προγράμματος τα αποκρύπτουν από όποιον ενδιαφερόμενο, απαξιώντας να δεχθούν οποιονδήποτε διάλογο για το θέμα, διεκδικώντας το αλάθητο και το προνόμιο να είναι οι μόνοι κάτοχοι των “από­κρυ­φων μυστικών” του διαγωνισμού. Ο χρησμός τους δεν τίθεται σε αμφισβήτηση.

Λόγω ακριβώς αυτής της αδιαφάνειας, ο διαγωνισμός δε δέχεται κριτική και αμφισβήτηση, ως προς την αποτελεσματικότητα και την αντικειμενικότητα της μέτρησης. Απλά, μας μένουν τα αποτελέσματα και, μέσω αυτών, η πίεση που ασκείται για αναδιαρθρώσεις των Π.Σ., ώστε να κινούνται σε μία κοινή εκπαιδευτική δέσμη, συμβατή με τις επιδιώξεις του ΟΟΣΑ, για την παγκόσμια οικονομική και κοινωνική ανάπτυξη.

Μ’ αυτόν τον τρόπο, δικαιούται ο καθένας να είναι καχύποπτος, όταν το μόνο που βλέπει να δημοσιοποιείται είναι τα αποτελέσματα μιας μυστικής έρευνας, που, μέσω δειγματοληπτικού διαγωνισμού, καθορίζει την κατάταξη των χωρών του ΟΟΣΑ ως προς το επίπεδο της παρεχόμενης εκπαίδευσης, συγκρίνοντας έτσι τα εκπαιδευτικά τους συστήματα, με αδιαφανείς μεθόδους».

Επίλογος

Όλα όσα γράψαμε δεν αποτελούν δικαιολογία για τις επιδόσεις των Ελλήνων μαθητών. Η κριτική στον διαγωνισμό δεν αποτελεί συγχωροχάρτι  για τους υπεύθυνους για τα προβλήματα της εκπαίδευσής μας. Αμφισβητούμε όμως έντονα και βάσιμα τη συμμετοχή της χώρας μας στο διαγωνισμό, την αξιοπιστία του, την αξιοποίηση των αποτελεσμάτων του από τις κυβερνήσεις και το κεφάλαιο και την απεμπόληση της δυνατότητας για άσκηση εκπαιδευτικής πολιτικής που θα αποφασίζεται από τη χώρα μας, θα υφίσταται την κριτική και την πολεμική του κινήματος και θα δίνει τη δυνατότητα παρεμβάσεων.

Κανένας PISA και κανένας ΟΟΣΑ δεν μας χρειάζεται για να αναβαθμίσουμε τη μαθηματική εκπαίδευση. Το νόημα που δίνουν οι διεθνείς οργανισμοί στην αναβάθμιση είναι η πλήρης μετατροπή των σχολείων σε εργοστάσια παρασκευής σκλάβων νέου τύπου. Σκλάβων που θα είναι ευέλικτοι, καταρτίσιμοι και προσαρμόσιμοι διά βίου στις εκάστοτε απαιτήσεις της αγοράς. Η μεταρρύθμιση που χρειαζόμαστε θα μπορέσει να πραγματοποιηθεί μόνο ταυτόχρονα με το συνολικό μετασχηματισμό της κοινωνίας, την ανάδειξη ως κυρίαρχων αξιών εκείνων που έχουν κορυφαίο στόχο την ευτυχία όλων των ανθρώπων και την ισότιμη απολαβή των αγαθών της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου.

Ωστόσο,  η πορεία προς το γενικό στόχο συμβαδίζει με τη διεκδίκηση εκπαιδευτικών αιτημάτων που βελτιώνουν προς το συμφέρον των πολλών την παρεχόμενη εκπαίδευση. Παράλληλα απαιτείται η τεκμηρίωση των αιτημάτων αυτών ώστε να κατανοηθεί από τον λαό ποια μορφή εκπαίδευσης συμφέρει τη μεγάλη μάζα των εργαζόμενων, των ανθρώπων του μόχθου, των νέων, των καταπιεζόμενων τάξεων.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] OECD: The Trojan Horse Within , Short history of the OECD and its PISA activities, Fred Naylor, Educational Consultant, UK Current Concerns – The monthly journal for independent thought, ethical standards and moral responsibility. No 1, 2004

[2] Ψήφισμα του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου σχετικά με την εκπαίδευση, ακρογωνιαίο λίθο της διαδικασίας της Λισαβόνας (2004/2272(INI))

[3] Όταν η χώρα μας μπήκε στο Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, η στρατιωτική ηγεσία δεν άργησε να ανακαλύψει ότι οι άνθρωποι ήταν αδύνατοι στα Μαθηματικά. Υποχρεώθηκε να κάνει έκτακτες σειρές μαθημάτων για ν’ ανεβάσει το επίπεδο των μαθηματικών γνώσεων.( Kline Morris, Γιατί δεν μπορεί να κάνει πρόσθεση ο Γιάννης, Βάνιας,1990, σελ. 35)

[4] Κουλαϊδής, Β., Παπαδάκης, Ν. & Δημόπουλος, Κ. (2006), Πρόγραμμα PISA: Αποτίμηση και Προκλήσεις, Συγκριτική και Διεθνής Εκπαιδευτική Επιθεώρηση, 6, 33-57.

[5] Realistic Mathematics Education as work in progress στο Fou-Lai Lin, Common sense in Mathematics education, Taipei, Taiwan, 2001

[6] Δημοσιεύτηκε στο «Helsingin Sanomat» στις 17 Φεβρουαρίου 2007. Η μετάφραση οφείλεται στην Κατερίνα Τριανταφύλλου. Πρωτοδημοσιεύτηκε στα Αντιτετράδια της Εκπαίδευσης

[7] http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Take%20the%20test%20e%20book.pdf

[8] Ρίζος, Ι. Γιώργος, «Στο δρόμο για τον PISA», Μαυρίδης, 2009,  σελ. 23-24

[9] Βλ. «Γιατί δεν ξέρει πρόσθεση ο Γιάννης», Μ. Kline

[10] Στα βοηθήματα που κυκλοφορούν το 1993 η ενότητα παρουσιάζεται ακροθιγώς με ασκήσεις ίδιες με του σχολικού βιβλίου.

[11] Επιμένουμε στη λέξη γιατί δεν πρόκειται για εκπαίδευση

[12] ΚΕΕ, Θέματα Αλφαβητισμού Προγράμματος Pisa, Αθήνα 2004

[13] Στην ιστοσελίδα του Σελιδοδείκτη θα αναρτηθούν συγκεκριμένα, σχολιασμένα παραδείγματα θεμάτων του διαγωνισμού PISA

[14]  «Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ PISA του ΟΟΣΑ, Δούρειος Ίππος της εκπαίδευσής μας», Γιώργος Ρίζος, Εισήγηση σε εκδήλωση της ΕΛΜΕ Κέρκυρας, Απρίλιος 2008

Recent Posts

Leave a Comment

Επικοινωνήστε μαζί μας

Στείλτε μας μήνυμα και θα επικοινωνήσουμε σύντομα μαζί σας.

Δεν διαβάζεται; Αλλάχτε κείμενο. captcha txt