Σπύρος Κουρούκλης: Τριχοτόμοι γωνιών τριγώνου

 In Και τώρα ... Μαθηματικά, Νέα
Από το θεώρημα Morley στο θεώρημα των τριχοτόμων στο τρίγωνο odt (2)

Μια μικρή παραλλαγή του άρθρου σε αντιγράψιμη μορφή:

Το «αγνοημένο» θεώρημα των τριχοτόμων

Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Ακριβέστερα στο τρίγωνο, οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών ή μιας εσωτερικής και των δύο άλλων εξωτερικών συντρέχουν στο αντίστοιχο σημείο (έκκεντρο και παράκεντρα του τριγώνου). Υπάρχει αντίστοιχο θεώρημα για τις τριχοτόμους των γωνιών του τριγώνου?

Περιέργως το θεώρημα αυτό αγνοήθηκε στο διάβα των αιώνων. Οι τριχοτόμοι μιας οποιασδήποτε γωνίας δεν κατασκευάζονται με τον κανόνα και τον διαβήτη, όπως αποδείχθηκε αρχικά από τον Pierre Wantzel (1837). Εντούτοις αναμφίβολα υπάρχουν! Γύρω στο 1899 ο Frank Morley, μάλλον συμπωματικά, διαπίστωσε ότι σ’ ένα τρίγωνο οι τριχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών του, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου. Το αποτέλεσμα διαδόθηκε γρήγορα προφορικά και έκτοτε αναφέρεται ως θεώρημα του Morley. Ο ίδιος έγραψε ελάχιστα γι’ αυτό.  Σ’ ένα άρθρο του (1929) εμβόλιμα αναφέρει: “Σ’ ένα τρίγωνο, οι τριχοτόμοι πλησιέστερες σε μια πλευρά τέμνονται σε τρεις τριάδες παραλλήλων σχηματίζοντας ισόπλευρα τρίγωνα… Έτσι αν ληφθούν οι εσωτερικές τριχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου, τα σημεία όπου οι πλησιέστερες εξ αυτών συναντώνται σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.»  Σ’ αυτήν τη διατύπωση οι τριχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών παρουσιάζονται να έχουν ξεχωριστή μεταχείριση, σε σύγκριση με τις τριχοτόμους των εξωτερικών και ολοκληρωτικών γωνιών. Επίσης, η συγκεκριμένη συμπεριφορά των εσωτερικών τριχοτόμων συνάγεται από τη διάταξη των σημείων τομής των τριχοτόμων, πλησιέστερων σε μια πλευρά, η οποία φαίνεται να διατυπώνεται σε αντιστοιχία με τη διάταξη των σημείων τομής των διχοτόμων εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών, όπου το έκκεντρο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου με κορυφές τα παράκεντρα του τριγώνου.

Στο θεώρημα Morley για τις εσωτερικές τριχοτόμους έχει δοθεί πληθώρα αποδείξεων, ίσως περισσότερες από 50. Παρόλα αυτά μόλις πρόσφατα εμφανίστηκαν οι πρώτες στοιχειώδεις αποδείξεις για τον σχηματισμό των 18 ισοπλεύρων από τις τομές των τριχοτόμων που προκύπτει από την αναφορά του Morley, ενώ ένα πλήρες θεώρημα των τριχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου που αναφέρεται σε όλους τους τύπους τους συνεχίζει να αγνοείται στη διεθνή βιβλιογραφία.

Το θεώρημα των τριχοτόμων συνοπτικά διατυπώνεται:

Σ’ ένα τρίγωνο, οι τριχοτόμοι των γωνιών του πλησιέστερες στις πλευρές, τέμνονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου.

Θα πρέπει να επισημανθεί ότι η αφηρημένη αυτή διατύπωση απαιτεί διευκρίνηση, δοθέντος ότι υπάρχουν συνδυασμοί τριχοτόμων, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, που τέμνονται σε κορυφές τριγώνου που δεν είναι ισόπλευρο. Όπως ακριβώς και με τη συνοπτική διατύπωση του θεωρήματος των διχοτόμων.

 

Στο σχήμα, απεικονίζονται οι 27 τομές των τριχοτόμων των γωνιών του ΔABC πλησιέστερων στις πλευρές αντίστοιχα. Οι τριχοτόμοι παριστάνονται με διακεκομμένες γραμμές (πράσινες, κόκκινες, μπλε για τις εσωτερικές, ολοκληρωτικές και εξωτερικές γωνίες του τριγώνου αντίστοιχα).
Διακρίνονται 27 ισόπλευρα εκ των οποίων 18 από τις τομές των τριχοτόμων και των τριών γωνιών ενώ 9 από τις τομές των τριχοτόμων δύο γωνιών.
Τα 18 ισόπλευρα είναι τα τρία αμιγή (πράσινο το εσωτερικό, μπλε το κεντρικό και κόκκινο το περιφερειακό), τα 9 μικτά (3 εσωτερικά, 3 κεντρικά, 3 περιφερειακά έχοντας κοινή κορυφή με το αντίστοιχο αμιγές). Επίσης τα 6 πλήρη, δύο απέναντι από κάθε πλευρά του ΔABC.
Ακόμη μπορεί να επαληθευτεί ότι 9 τρίγωνα από τις τομές τριχοτόμων του ίδιου τύπου μιας γωνίας και ενός άλλου τύπου για τις άλλες δύο γωνίες (τρία για κάθε περίπτωση) δεν είναι ισόπλευρα.
Επιπλέον παρατηρούνται οι ευθυγραμμίσεις των σημείων τομής των τριχοτόμων πάνω στις πλευρές των αμιγών ισοπλεύρων.

Στο προηγούμενο σχήμα τα ισόπλευρα σχηματίζονται από τις τομές των εσωτερικών, εξωτερικών και των ολοκληρωτικών τριχοτόμων και από συγκεκριμένους συνδυασμούς τους που δημιουργούνται από τις εσωτερικές μιας γωνίας, εξωτερικές μιας άλλης και ολοκληρωτικές για την τρίτη καθώς επίσης και από τις εσωτερικές μιας γωνίας και τις εξωτερικές των δύο άλλων, τις ολοκληρωτικές μιας γωνίας και τις εσωτερικές των δύο άλλων, τις εξωτερικές μιας γωνίας και τις ολοκληρωτικές των δύο άλλων. Για μια περιεκτική διατύπωση των παραπάνω περιπτώσεων ας παρατηρήσουμε ότι η σειρά των τριχοτόμων μιας γωνίας, πλησιέστερων σε μια πλευρά της, είναι εσωτερική, εξωτερική, ολοκληρωτική, εσωτερική.  Έτσι ο επόμενος τύπος μιας ολοκληρωτικής, εσωτερικής ή εξωτερικής τριχοτόμου είναι μια εσωτερική, εξωτερική ή ολοκληρωτική τριχοτόμος αντίστοιχα. Η αναλυτική διατύπωση του θεωρήματος των τριχοτόμων είναι λοιπόν: ΅Σ’ ένα τρίγωνο, οι τριχοτόμοι του ιδίου τύπου για όλες τις γωνίες, ενός διαφορετικού για καθεμία, ή ενός τύπου για μια και του επομένου του για τις άλλες δύο, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Σημειώνεται ότι οι άλλοι τρεις συνδυασμοί τριχοτόμων ενός τύπου μιας γωνίας και ενός άλλου τύπου για τις άλλες δύο τέμνονται στις κορυφές τριγώνου που δεν είναι ισόπλευρο.

Τα ανωτέρω ισόπλευρα, μπορεί να ονομασθούν αμιγή (εσωτερικό, κεντρικό, περιφερειακό, ανάλογα της σχετικής θέσης τους), πλήρη (6), και μικτά εσωτερικά (3), κεντρικά (3), ή περιφερειακά (3) από το αμιγές ισόπλευρο με το οποίο μοιράζονται μια κορυφή αντίστοιχα. Αυτά ανά δύο έχουν μια κοινή κορυφή ενώ, όπως αποδεικνύεται, οι πλευρές τους είναι συνευθειακές. Δοθέντος ότι ένα αμιγές έχει κοινή κορυφή με ένα μικτό και αυτό με ένα πλήρες, οι πλευρές τους ευθυγραμμίζονται με τις πλευρές του αμιγούς. Επομένως προκύπτει ότι τα σημεία τομής των τριχοτόμων πλησιέστερων στις πλευρές διατάσσονται ανά 6 πάνω στις 3 τριάδες των πλευρών των αμιγών ισοπλεύρων οι οποίες είναι παράλληλες. Ταυτόχρονα οι μη παράλληλες πλευρές των αμιγών ισοπλεύρων τέμνονται στα σημεία τομής των τριχοτόμων, πλησιέστερων σε μια πλευρά.

Ο εντυπωσιακός αριθμός των ισοπλεύρων που σχηματίζονται σύμφωνα με το θεώρημα αναμφίβολα ερεθίζει το μαθηματικό ενδιαφέρον. Αυθόρμητα δημιουργείται το ερώτημα σχηματισμού περισσοτέρων ισοπλεύρων από τις τομές των τριχοτόμων. Βεβαίως η δημιουργία ισοπλεύρων χρησιμοποιώντας τριχοτόμους και των τριών γωνιών πλησιέστερες προς τις πλευρές αντίστοιχα έχει εξαντληθεί, αφού οι τομές τους δημιουργούν 3x3x3 τρίγωνα εκ των οποίων 18 είναι ισόπλευρα. Παραμένει άγνωστο αν δημιουργούνται άλλα ισόπλευρα από τις τομές των τριχοτόμων των τριών γωνιών που δεν είναι όλες πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα.

Οι τριχοτόμοι των δύο γωνιών που διέρχονται από τις κορυφές των ανωτέρω ισόπλευρων είναι:
(a) Ένα ζεύγος του ίδιου τύπου και μικτοί συνδυασμοί των δύο άλλων τύπων από κάθε γωνία, απώτερες στην κοινή πλευρά.
(b) Συνδυασμοί του ίδιου τύπου από κάθε γωνία, πλησιέστερες και απώτερες στην κοινή πλευρά αντίστοιχα.
(c) Μικτοί συνδυασμοί, ενός διαφορετικού από κάθε γωνία, πλησιέστερες και απώτερες στην κοινή πλευρά αντίστοιχα.

Παρόλα αυτά υπάρχει δυνατότητα να βρεθούν κι άλλα ισόπλευρα από τις τομές των τριχοτόμων δύο γωνιών.  Η ευθυγράμμιση των σημείων τομής των τριχοτόμων πάνω στις πλευρές των αμιγών ισοπλεύρων δημιουργεί 9 ακόμη ισόπλευρα στις κορυφές των οποίων συναντώνται οι τριχοτόμοι δύο γωνιών πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, που αναφέρονται τρίγωνα Guy Faux.  Μια ανεξάρτητη απόδειξη του γεγονότος αυτού μπορεί να βασιστεί στο ότι οι τριχοτόμοι μιας γωνίας πλησιέστερες σε μια πλευρά της σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες 60ο, οπότε τα τρίγωνα στις κορυφές των οποίων αυτές συναντώνται μαζί με την αντίστοιχη πλησιέστερη πλευρά σχηματίζουν εγγράψιμα πεντάγωνα, και συνεπώς τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα, αφού οι γωνίες τους βαίνουν σε τόξα 60ο. Έτσι αποκαλύπτονται 12 ακόμη ισόπλευρα για ένα ζεύγος γωνιών του τριγώνου όπως παρουσιάζονται στο σχετικό σχήμα. Καθένα από τα ισόπλευρα αυτά έχει κορυφή ένα από τα 36 σημεία τομής των τριχοτόμων του συγκεκριμένου ζεύγους γωνιών κι επομένως έχουν εντοπισθεί όλα τα ισόπλευρα που σχηματίζονται με τον συγκεκριμένο τρόπο. Συνολικά 54 ισόπλευρα προσδιορίζονται από τις 108 τομές των τριχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου.

Δεν πρέπει να διαφύγει της προσοχής ότι το θεώρημα Morley αναδεικνύει ως ελεγχόμενη την απαίτηση τα θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας να σχεδιάζονται με τον κανόνα και τον διαβήτη. Τα αξιώματα θεσμοθετήθηκαν προφανώς για να αποδειχθούν από αυτά όλες οι αληθείς προτάσεις της γεωμετρίας. Ταυτόχρονα απαιτήθηκε το διευκρινιστικό σχήμα που ενδεχόμενα συνοδεύει μια απόδειξη, χωρίς το ίδιο να έχει αποδεικτική ισχύ, να «σχεδιάζεται» με τα όργανα αυτά.  Σιωπηλά υπήρξε η υπόθεση ότι όλα τα θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας «σχεδιάζονται». Αλλά το θεώρημα Morley είναι δυνατόν να αποδειχθεί από τα αξιώματα χωρίς το σχήμα του να  μπορεί να «σχεδιαστεί». Τα αρχικά αξιώματα έτυχαν ενδελεχούς μελέτης και πιστεύεται ότι συμπληρώθηκαν επαρκώς. Επί πλέον πρέπει να αναγνωριστεί ότι η απαίτηση χρήσης των δύο οργάνων ήταν μάλλον υπερβολική, αφού αφ’ ενός δεν δημιουργούν την ιδεατή εντέλεια των σχημάτων και αφετέρου περιττή για την τελειότητα του οικοδομήματος της αξιωματικής γεωμετρίας.

Recent Posts

Leave a Comment

Επικοινωνήστε μαζί μας

Στείλτε μας μήνυμα και θα επικοινωνήσουμε σύντομα μαζί σας.

Δεν διαβάζεται; Αλλάχτε κείμενο. captcha txt